【数学建模】关于导弹追踪轨迹分析的数学模型

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1、数学建模竞赛承诺书我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）：A我们的队号为：07参赛队员：1.张建彬2.陆丽娜3.王

2、晓龙指导教师或指导教师组负责人：数模组日期：2009年8月11日评阅编号（由评阅老师评阅前进行编号）：数学建模竞赛编号专用页评阅编号：评阅记录：评阅人评分备注导弹追踪轨迹分析模型内容摘要本题分析了空对空导弹的追踪问题以及地对空导弹的追踪问题。对于问题1，本文建立了二维平面上的导弹追逐模型。利用在任何时刻导弹的飞行方向指向敌机的位置得出微分方程，利用导弹飞行轨迹的弧长与敌机飞行路程之比等于两者的速度之比列出积分方程。再利用初值条件，并经过严格的数学公式推导求解出导弹追踪敌机的轨迹方程。发射I型空对空导弹击毁敌机的条件：其中为敌

3、机飞行的速度，为Ⅰ型空对空导弹飞行的速度，击中点为对于问题2，由于导弹是由地面向空中发射，而敌机是在空中飞行，因此本文建立了三维空间上的导弹追逐模型，并把该三维空间上的导弹追逐问题转化为二维平面上的导弹追逐问题，而在转化过程中不改变各点之间的相对位置。运用问题1的解决方法求解得出II型地对空导弹追踪敌机的轨迹方程。发射II型地对空导弹击毁敌机的条件为：其中为敌机飞行的速度，为Ⅱ型地对空导弹飞行的速度，击中点为对于问题3，我们用Matlab编程语言，采用Euler法迭代并进行改进得出结果。关键字：导弹发射追踪二维模型三维分析M

4、atlab编程欧拉迭代191．问题的提出某边防导弹基地的雷达发现位于其正东N公里处有一家来犯敌机正欲逃往正北方向M公里处的安全区。该基地的I型空对空追踪导弹和II型地对空追踪导弹均可针对目标随时自动调节追踪方向，截击敌机。但敌机一旦进入安全区后，由于电子干扰作用，I型、II型导弹均将失去追踪目标，无法将敌机击毁。问题1：如此时恰有一架携有I型空对空追踪导弹的、与敌机处于同一飞行高度的巡航飞机在空中，基地即下令巡航飞机发射I型追踪导弹击毁敌机。试确定导弹追踪敌机的轨迹，并在适当的假定下给出发射该种导弹击毁敌机的条件；问题2：如

5、此时在基地即发射II型地对空追踪导弹去击毁敌机，试确定导弹追踪敌机的轨迹，并在适当的假定下，及发射该种导弹击毁敌机的条件；问题3：若导弹的速度可在发射前根据需要设定，对于不同的N、M取值，编写计算机程序（语言不限），利用计算得到的数据说明怎样的发射速度可确保击毁敌机。2.基本假设(1).假设导弹以及敌机的运动为质点运动。(2).假设导弹是匀速率运动的。(3).假设敌机是匀速运动的。(4).假设导弹与敌机的运动速度跟风速和没有关系，在运动的过程中忽略重力及空气阻力的影响。(5).假设导弹的射程无限远。(6).假设导弹没有发射时

6、间误差。3．符号的约定O点:边防导弹基地的雷达所在位置坐标I点:巡航飞机的初始位置坐标P点():Ⅰ型空对空追踪导弹所在的位置坐标Ⅰ型空对空追踪导弹得轨迹方程Ⅱ型地对空追踪导弹得轨迹方程（转化为二维空间后）A点敌机所在的初始位置坐标(模型一)A点敌机所在的初始位置坐标(模型二)Q点(N,):敌机所在的位置坐标(模型一)Q点:敌机所在的位置坐标(模型二)19S点:击中位置坐标（临界状态）（模型一）S点:击中位置坐标（临界状态）（模型二）:敌机飞行速度:Ⅰ型空对空追踪导弹飞行速度:Ⅱ型地对空追踪导弹飞行速度敌机飞行的高度4.问题1

7、的解答4.1模型的分析本问题的难点是需要假设巡航飞机的初始位置坐标，导弹的飞行速度以及敌机的飞行速度。由于是求解在适当的假定下的发射该种导弹击毁敌机的条件，因此需从临界状态出发，即击中点为点S(N,M)。且需用差分法代替微分法求解。4.2模型的假设(1).击中临界点为S点：(N,M)。(2).导弹与敌机的轨迹始终同一平面内。4.3模型的建立敌机位于(N,)。由于导弹头始终对准敌机，故此时直线PQ就是导弹的轨迹曲线弧IP在点P处的切线。yB:(0,M)IxO(0,0)图一：二维平面追机分析图19其中，下同即…………………………

8、………………………………(4.1)弧的长度计算公式为：该公式的推导过程如下：又根据题意，弧IP的长度为

9、AQ

10、的倍，于是：………………………………………………(4.2)根据(4.1),(4.2),消去，得：…………………………………………………(4.3)满足条件：…………………………………