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1、本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn8.2二元一次不等式组与简单的线性规划问题【知识网络】1、二元一次不等式组以及可化成二元一次不等式组的不等式的解法；2、作二元一次不等式组表示的平面区域，会求最值；3、线性规划的实际问题和其中的整点问题。【典型例题】例1：（1）已知点P（x0，y0）和点A（1，2）在直线的异侧，则（）A．B．0C．D．答案:D。解析：将（1，2）代入得小于0，则。（2）满足的整点的点（x，y）的个数是（）A．5B．8C．12D．13答案：D。解析：作出图形找整点即可。（3）不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤
2、0表示的平面区域是（）答案：C。解析：原不等式等价于两不等式表示的平面区域合并起来即是原不等式表示的平面区域．（4）设实数x,y满足，则的最大值为．答案:。解析：过点时，有最大值。（5）已知，求的取值范围．答案：。解析：过点时有最小值5，过点（3，1）时有最大值10。例2：试求由不等式y≤2及
3、x
4、≤y≤
5、x
6、＋1所表示的平面区域的面积大小．答案:解：原不等式组可化为如下两个不等式组：①或②上述两个不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分．它所围成的面积S＝×4×2－×2×1＝3．例3：已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．(
7、Ⅰ)求函数g(x)的解析式；(Ⅱ)若h(x)＝g(x)－f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围。答案:(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则∵点在函数的图象上∴（Ⅱ）①②ⅰ）ⅱ）例4：要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数量少？答案:：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则且x，y都是整数．求目标函数z＝x＋y取得最小值时的x，y的值．如图，当x＝3，y＝9或
8、x＝4，y＝8时，z取得最小值．∴需截第一种钢板3张，第二种钢板9张或第一种钢板4张，第二种钢板8张时，可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少．【课内练习】1．双曲线的两条渐近线及过（3，0）且平行其渐近线的一条直线与x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）A、B、C、D、答案：A。解析：双曲线的两条渐近线方程为，过（3，0）且平行于的直线是和，∴围成的区域为A。2．给出平面区域如下图所示，其中A（5，3），B（1，1），C（1，5），若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是（）A．B．C．2D．答案:B。解析：
9、，即。3．设集合是三角形的三边长，则所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是()答案:A。解析：，故选A4．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元．在满足需要的条件下，最少要花费元．答案:500。解析：设需第一种原料x袋，第二种原料y袋，，令，∴过（1，3）时元。5．已知，求的最大值为。答案：21。解析：可行域如图，当时，，于是可知可行域内各点均在直线的上方，故，化简得并平行移动，当过C（7，9）时，。6．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时
10、截得三种规格小钢板的块数如下表所示：类型A规格B规格C规格第一种钢板121第二种钢板113每张钢板的面积,第一种为,第二种为,今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小？答案：解：设需截第一种钢板张,第二种钢板张,所用钢板面积为,则有作出可行域(如图)目标函数为作出一组平行直线(t为参数).由得由于点不是可行域内的整数点,而在可行域内的整数点中,点(4,8)和点(6,7)使最小,且.答:应截第一种钢板4张,第二种钢板8张,或第一种钢板6张,第二种钢板7张,得所需三种规格的钢板,且使所用的
11、钢板的面积最小.7．已知3≤x≤6，x≤y≤2x，求x＋y的最大值和最小值．答案：原不等式组等价于作出其围成的区域如图所示，将直线x＋y＝0向右上方平行移动，当其经过点（3，1）时取最小值，当其经过（6，12）时取最大值．∴(x＋y)min＝3＋1＝4，(x＋y)max＝6＋12＝18．即x＋y的最大值和最小值分别是18和4．8．一家饮料厂生产甲、乙两种果汁饮料，甲种饮料的主要配方是每3份李子汁加一份苹果汁，乙种饮料的配方是李子汁和苹果汁各一半．该厂每天能获得的原料是李子汁和苹果汁，又厂方的利润是生产甲种饮料得3元，生产乙种饮料得4元．那么厂方每天生产甲、乙两种
12、饮料各多少，才能获利最大
