高中数学数列知识点总结

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1、五、数列一、数列定义：数列是按照一定次序排列的一列数，那么它就必定有开头的数，有相继的第二个数，有第三个数，……，于是数列中的每一个数都对应一个序号；反过来，每一个序号也都对应于数列中的一个数。因此，数列就是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为；通常用代替，于是数列的一般形式常记为或简记为，其中表示数列的通项。注意：（1）与是不同的概念，表示数列，而表示的是数列的第项；（2）数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量

2、的值。（3）和之间的关系：如：已知的满足，求。二、等差数列、等比数列的性质：等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫等差数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列公差（比），或；，或（）；通项公式=求和公式由倒序相加法推得=由错项相减法推得①，=②，若为等差数列，则，；若为等比数列，则，；-8-用函数的思想理解通项公式等差数列的图象是直线上的均匀排开的一群孤立的点用函数的思想理解求和公式等差数列，，则；；；若，说明：；在二次函数的图象上，是一群孤立的点。若为等比数列，，则；

3、；；（其中的系数与为互为相反数，这是公式一很重要特点，注意前提条件。）若，说明：；等比数列，，则；增减性为递增数列；为递减数列；为常数列。为递增数列；为递减数列；为常数列；为摆动数列；等差（比）中项任意两个数有且只有一个等差中项，即为；两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数。两个数的等比中项为；（）等差（比）数列的性质若，则____________；特别当，则；若，则____________；特别当，则；在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是等差数列。如：；问公差为在等比数列中，每隔相同的项

4、抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列，剩下的项按原顺序构成的数列也不一定是等比数列。如：；问公比为是数列；公差为；成等差数列。是数列；公比为；是数列；公比为；-8-是数列；公差为；是数列；公比为；若数列与均为等差数列，则仍为等差数列，公差为；若数列与均为等差数列，则仍为等比数列，公比为；仍为等比数列，公比为；如：（1）在等差数列中，，则；（2）在等比数列中，，则；另外，等差数列中还有以下性质须注意：（1）等差数列中，若，则；（2）等差数列中，若，则；（3）等差数列中，若，则；；（4）若，则时，最大。（5）若与均为等差数列，且前n项和分别为与，则；（6）

5、项数为偶数的等差数列，有（与为中间的两项）；；项数为奇数的等差数列，有（为中间项）；；；等比数列中还有以下性质须注意：（1）若是等比数列，则，也是等比数列，公比分别；；-8-（2）若是等比数列，则，也是等比数列，公比分别；；三、判定方法：（1）等差数列的判定方法：①定义法：或（为常数）是等差数列②中项公式法：是等差数列③通项公式法：（为常数）是等差数列④前项和公式法：（为常数）是等差数列注意：①②是用来证明是等差数列的理论依据。（2）等比数列的判定方法：①定义法：或（是不为零的常数）是等比数列②中项公式法：是等差数列③通项公式法：（是不为零常数）是等差数列④前项和公式法：

6、（是常数）是等差数列注意：①②是用来证明是等比数列的理论依据。四、数列的通项求法：（1）观察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，……（2）21，203，2005，20007，……（2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。①递推式为及（为常数）：直接运用等差（比）数列。②递推式为：迭加法如：已知中，，求③递推式为：迭乘法如：已知中，，求④递推式为（为常数）：-8-构造法：Ⅰ、由相减得，则为等比数列。Ⅱ、设，得到，，则为等比数列。如：已知，求⑤递推式为（为常数）：两边同时除去得，令，转化为，再用④法解决。如：已知中，，，求⑥递推式为（为常数）：将变形

7、为，可得出解出，于是是公比为的等比数列。如：已知中，，，求（3）公式法：运用①已知，求；②已知中，，求；③已知中，，求五、数列的求和法：（1）公式法：①等差（比）数列前项和公式：②；③；④（2）倒序相加（乘）法：如：①求和：；-8-②已知为不相等的两个正数，若在之间插入个正数，使它们构成以为首项，为末项的等比数列，求插入的这个正数的积；（3）错位相减法：如：求和：（4）裂项相消法：；；如：①；②；③若，则；（5）并项法：如：求（6）拆项组合法：如：在数列中，，求，六、数列问题的解题的策略：（1）分类讨论问题：①在等比数列中，用