线性代数较难试题

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1、一、设A相似于对角阵，人是A的特征值，X。是A对应于人的特征向量.证明.•（1）秩（A—人/）=秩（A—人/）2;（2）不存在y，使得（a—岑/）y=x。.证：（1）设A口A=diag{>^，…，人，人+

2、，…，2J，為#>^，/=灸+1，...，打.、一--Yk则A—A^ID八-人f，（A—人）/广口（八一人/）2.故rank（A-A^I）=rank{-A^I）=ran々（diag{0,…，0，人+1-人，…，々-人}k=n—k.同理，rank（A-^/）2=rank{-人f）2=rank（dvdg{0,…，0，（4+1—A））2，

3、…，（A-A））2}'V'k=n-k=rank（A—人/）.（2）如存在y,使得（a-；w=x。，则（A—人）/）2y=（A—4QX（）=沒，由（1）知方程组（A-/V）2X=0与同解。从而（A-/U）y=^即；cn=6,与;^为特征向量矛盾。二、已知线性方程组人对任何的取值都有解的充耍条件是4wxm为可逆阵。证明：充分性:设A可逆，则对任意^X=A~[b.必要性：解法一：当取遍所有基本向量组中的向量后，原方程组都有解，以这些解向景作为列向景构做矩阵B，显然AB=f,其中/为单位阵，故而A可逆.解法二：由题目假设知任何〃维向量6都能由A的

4、列向量组线性表出，所以向量空间尺〃的维数不会超过A的列向量组的秩，巾此得出：A的列向量组的秩为〃，即A可逆.三、设戊，#为3元单位列向量，.H.aTA=O,=证明:(1)齐次线性方程组AX=0有非零解；100⑵A相似于矩阵010。000久=i%A.0i爷**i•乙及^=>X-i

5、>’之A=乙(X4G卜24^A.今fr!~tSt>=2.A、4^X

6、~Az-I~D(4^A2-z、〜二1^=>AX-°斗、~外名巧.(2)Vz2-?=2-=>•=>A可呀ft•〜今A〜',0四、设w阶矩阵4满足42二4,r(A)=r(0

7、<>(1)试确定4的特征值的取值范围；(2)证明A—定可以相似对角化；(1)求行列式

8、A-2/

9、的值。12)*1久(^〜、)卜［A):卜今mh-rh-V*$乙°1/\A->Ah,-rCl^A)>/h==>Xfei2->zIr^=>>t彡hz*5•--••(2)Vfeii1^>oi3,s二k-rkl♦A咖^、's4知也O).21'':

10、AH、=⑼H)•X卜门2五、已知Rrt中两个非零向量：其中/d6^0,矩阵A=a/?F。(1)求A2;（2）求4的特征值和特征向量；（3）判断A是否可以相似对角

11、化：若可以，请写出相似变换矩阵P和对角矩阵若不可以，请说明理由。十•（/，沴）丁（么厶十处4子么产/7<.A4/2o4•…卞严，女•//扔爪了讀h^lhcoj-/i冷一省;Xl二（七，七〜么二、令》0夕）丁〜：｛j〉0)O…，-"故加材州2《奴丸X,4/一•••次人，（卽W人办彳）/?.Z.±r^叹1^»/?）.IC/又）1物七if［傳j則〉姆祕叫（D叫么.2*Aoi二G?^、o（二d（^o（）二XoC（乂衫）/-/抓;价物約j3乂.衫叫乂广⑼＜M灸f'”，个'、义彳（♦人：房.4■人^C_y!h二儿叫，人二名《4,讀n1〉fy^^^^

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