[理学]分形几何校本课程

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1、校本课程材料包------讲义分形几何与分形艺术欣赏高二年段袁小林32分形几何与分形艺术欣赏欧几里德欧氏几何与分形几何有何区别呢？同学们学习在小学开始接触几何这门学科了，在初中初步学习了平面几何，在高中学习平面解析几何和立体几何。但同学们所学的这些几何都是经典几何学，以规则的几何图形如圆、三角形等为研究对象，属于欧氏几何（欧几里德几何）范畴。除了欧氏几何，还有其它的非欧几何，比如分形几何。观察下面的绘画作品，感受这些作品反映出的不同几何特征。32经典几何学对自然界形体的描述是概括的，不近似的，不精确的。它把复杂的山型近似为圆锥，把复杂的树冠近似为圆锥，把复杂的人头近似为球形等等。然后以

2、这些基本形（方、圆、锥、柱、环等）为基础，通过它们的叠加与组合，来描述更复杂的自然界形体。这种描述在不需要精确的领域是可以接受的，如果要求被描述的形体足够精确，采用这种方法就不能很好的满足要求了。另外，对于一些非常复杂的形状，如云形，雪花等，这种方法显得力不从心。分形几何的创始人——芒德勃罗为了能够对复杂的自然形体进行比较精确的描述，芒德勃罗（Mandelbrote）提出了分形的概念。分形的方法可以对自然形体比经典几何学进行更精确的描述。这种描述是动态的，是建立在自然形体是自相似原理基础上的。当然，分形的描述也不是与自然形体100％的符合。任何描述都具有概括或抽象的概念。比较经典几何学

3、与分形几何学，它们的差别在于：一．它们对自然形体描述不同：经典几何学是以静态的方式来描述形态，这种描述方法具有数据量大的特点；分形几何学是以动态、生成的方式来描述形态，这种方式具有可以根据要求来不断提高被描述形态的精确度，数据量比较小。二．它们对自然界形态描述的方式背后存在着基本观念的差异：32经典几何学认为世界是构成的，因此可以将世界分解成很多基本几何要素，然后根据一定的规律建构起来；分形几何学认为世界是生成的，复杂的世界形态是在时间的流逝中不断演化生成的。经典几何学建立在构成论的基础上的数学，是静态的描述数学；分形几何学建立在生成论的基础上的数学，是动态的描述数学。在经典几何学下，

4、艺术家创造形体的方式是描绘式的，不论是通过一点透视，还是通过多点透视的方法来画出的画面，本质上都是描述式的。不论再现式的绘画（以对自然的如实描写为主，通过具体的形象来表达艺术家内心的情感），还是表现式的绘画（不是以对自然的如实描写为主，而是以表现内心情感的为主，通过抽象的、随意的形象来表达），都是一种建构画面的表达方式。在分形几何学下，艺术家是通过运动或过程的方式，表达内心的情感，生成画面。这种画面是生长出来的，不是事先已经有了方案，然后建构出来的。欧几里得几何                           分形几何经典的（2000多年的历史）  现代数学怪物（30多年的历史）基

5、于特征长度与比例         无特征长度与比例适合于人工制品  实用于大自然现象图形规则  图形不规则图形的结构层次有限 图形的结构层次无限局部一般不具有整体的信息             局部往往具有整体的信息图形越复杂，背后的规则也越复杂      图形复杂，其背后的规则经常是简单的用公式描述                       用（递归或迭代）算法 描述32认识分形作为一门新兴学科，分形不但受到了科研人员的青睐，而且因为其广泛的应用价值，正受到各行各业人士的关注。那么，在我们开始学习分形之前，首先应该明白的一件事情是：我们正在学习什么？或者说：什么是分形？什么是分形？

6、让我们来看下面的一个例子。举一个最常见的例子：西兰花瓣下西兰花的一小枝，你会发现这一小枝西兰花与原来的大枝除了大小上，形状上十分相似。再在这一小枝上瓣小更小的一枝西兰花，所得到的这一更小西兰花与原来的在形状上依然十分相似。又比如：下图是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。那么，枝杈的枝杈的枝杈呢？自不必赘言。如右上图所示的图形，你会发现小圆内部结构与大圆内部结构是自相似的，换句话说，小圆内部不断重复着大圆内部的结构。以上图形的呈现一个共同特点就是物体的部分与整体相似，清楚了这一点，就可以形

7、成对分形概念的感性认识。分形就是那些有趣的东西，它的每一个小小的组成部分，都和整体一样，只是进行了一定的缩小。分形最为流行的一个定义是：分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已32分形艺术的现实应用即使你不懂得其中深奥的数学哲理，分形图片所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索，也会为之感动。分形搭起了科学与艺术的桥梁。分形使人们觉悟到科学与艺术的融合，数学与艺术