习有所得，潜能无限

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1、习有所得，潜能无限　　在初中数学学习中，很多学生往往只会做题，而不会思考题目本身的类型特点，这不仅失去了习题本身的意义价值，而且失去了巩固和发展知识的机会.如果把每道数学题看成是有生命的，那么它就能不断地生长发展.因此，在平时的教学中笔者倾注了大量的时间和精力，整理典型的例、习题，通过教学探索，引导学生挖掘数学习题的潜在价值，发现它的生命力，开发习题的附加值.很多学生学后乐此不疲地尝试探索，收获很大.学生的积极探索改变了笔者的教学风格，让课堂充满了趣味，散发出了数学魅力.　　一、化繁为简，重视习题的二次结论的应用　　习题的二次结论，它具有广阔的探究、拓展空间，常常作为命题生长点的原型.平

2、时教学中，如果能注重引导学生仔细揣摩，则能简化解题过程，化难为易，开阔解题思路，使我们在解题中能举一反三，触类旁通，有助于培养学生灵活地运用知识解决具体问题的能力.　　譬如，学生学习了《多边形的内角和与外角和》后，笔者让学生讨论：如图，∠A+∠B与∠C+∠D有怎样的数量？为什么？　　学生很快发现了：∠A+∠B=∠C+∠D.　　再让学生探究：　　1.根据图形，解答问题：　　（1）如图甲，一个五角形ABCDE，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小.7　　（2）如图乙，如果点B向右移动到AC上时，还能算出∠A+∠EBD+∠C+∠D+∠E的大小吗？　　（3）如图丙，点B向右移动到AC的另一侧时，

3、（1）的结论成立吗？为什么？　　（4）如图丁，点B，E移动到∠CAD的内部时，结论又如何？说明理由.　　甲乙丙丁　　学生通过讨论，发现每题都适当添加一条辅助线，就能构造出例题中的图形，再运用例题的结论转化，从而很快解决问题，简单有趣.　　2.已知，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：　　（1）在图中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；　　（2）如果图中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间数量关系.　　在解答（1）时，学生充分运用了例题结论，两次运用结

4、论，通过列方程组求出∠P=38°；解答（2）时，学生利用（1）的特殊性解决问题，得出∠P=（∠B+∠D）.虽然本题对于初一学生有一定的难度，但它是以例题为原型生长出来的问题，只要引导学生在变化中始终抓住例题之本，解决新的问题也就水到渠成，迎刃而解了.　　二、发散思维，注重习题的一题多解　　“条条大路通罗马”7，解决同一个问题，方法往往有多种，一题多解在巩固和加深所学知识，培养学生发散思维能力与创新能力方面具有重要的意义.　　例如：探讨计算1+2+2+…+2的一题多解方法.　　解法一：可通过教材提供的方法探究解决：2-2=2，2-2=2，…，再观察得出规律，最后活用规律进行计算.所以原式=

5、（2-2）+（2-2）+…+（2-2）=2-2=2-1.　　解法二：这道习题也可用“倍差法”求解：设S=1+2+2+…+2，将等式两边同时乘以2，得2S=2+2+2+…+2+2，将两式相减，得2S-S=2-1，即1+2+2+…+2=2-1.　　解法三：当学生学习《整式乘法》后，再次和学生探讨：计算1+2+2+…+2.首先请学生动手操作：　　（x-1）（x+1）=x-1，（x-1）（x+x+1）=x-1，（x-1）（x+x+x+1）=x-1，　　……猜想：（x-1）（x+x+…+x+x+1）=.　　这种解法就是运用上述规律：“借鸡生蛋”解决.所以原式=（2-1）（2+2+…+2+2+1）=

6、2-1.本题借的“鸡”（2-1）是特例，当然有时要借（3-1）时，则要除以2，这是要提醒学生注意的.　　教师在教学中要利用好这类习题，引导学生平时多观察、多积累，就能有效培养学生思维的广阔性和创造性.　　三、探究创新，重视习题的变式拓展7　　在数学教学中，恰当地对例题、习题进行演变、引申、拓展，无疑是激发学生学习兴趣，开拓思路，培养研究性思维能力的一种十分有效的方法.　　例如：在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O.　　（1）若∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BOC=；　　（2）若∠A=76°，则∠BOC=；　　（3）若∠BOC=120°，则∠A=；　　（4）当∠A=

7、n°（n为已知数）时，猜测∠BOC=，并用所学的三角形的有关知识说明理由.　　这个问题通过学生分析：只要抓住△ABC和△BOC的内角和，结合∠ABC、∠ACB的平分线就可以解决问题.三角形的角平分线有内外角的平分线，如果把它们进行重组后，又有什么新问题呢？　　变式1：如图，O是∠ABC与外角∠ACE的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由.　　分析：本题虽然看似和原题一样，但解决问题的方法却不一样，这就