椭圆知识点归纳总结和经典例题

椭圆知识点归纳总结和经典例题

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时间:2018-11-09

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1、椭圆的基本知识1.椭圆的定义:把平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距(设为2c).2.椭圆的标准方程:(>>0)(>>0)焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便,可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0)不必考虑焦点位置,求出方程3.求轨迹方程的方法:定义法、待定系数法、相关点法、直接法解:(相关点法)设点M(x,y),点P(x0,y0),则x=x0,y=得x0=x,y0=2y.∵x02+y02=4,得x2+(2y)2=4,即所以点M的轨迹是一个椭圆.4.范围.x

2、2≤a2,y2≤b2,∴

3、x

4、≤a,

5、y

6、≤b.椭圆位于直线x=±a和y=±b围成的矩形里.5.椭圆的对称性椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴.原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.6.顶点只须令x=0,得y=±b,点B1(0,-b)、B2(0,b)是椭圆和y轴的两个交点;令y=0,得x=±a,点A1(-a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点.椭圆有四个顶点:A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b).椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点.线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和

7、短轴.长轴的长等于2a.短轴的长等于2b.a叫做椭圆的长半轴长.b叫做椭圆的短半轴长.

8、B1F1

9、=

10、B1F2

11、=

12、B2F1

13、=

14、B2F2

15、=a.在Rt△OB2F2中,

16、OF2

17、2=

18、B2F2

19、2-

20、OB2

21、2,即c2=a2-b2.7.椭圆的几何性质:椭圆的几何性质可分为两类:一类是与坐标系有关的性质,如顶点、焦点、中心坐标;一类是与坐标系无关的本身固有性质,如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质,只要的有关性质中横坐标x和纵坐标y互换,就可以得出的有关性质。总结如下:几点说明:(1)长轴:线段,长为;短轴:线段,长为;焦点在长轴上。(2)对于离心

22、率e,因为a>c>0,所以0

23、公共点。注:当直线与椭圆有两个公共点时,设其坐标为,那么线段的长度(即弦长)为,设直线的斜率为,可得:,然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出。椭圆典型例题例1已知椭圆的一个焦点为(0,2)求的值.分析:把椭圆的方程化为标准方程,由,根据关系可求出的值.解:方程变形为.因为焦点在轴上,所以,解得.又,所以,适合.故.例2已知椭圆的中心在原点,且经过点,,求椭圆的标准方程.分析:因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数法,求出参数和(或和)的值,即可求得椭圆的标准方程.解:当焦点在轴上时,设其方程为.由椭圆过点,知.又,

24、代入得,,故椭圆的方程为.当焦点在轴上时,设其方程为.由椭圆过点,知.又,联立解得,,故椭圆的方程为.例3的底边,和两边上中线长之和为30,求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹.分析:(1)由已知可得,再利用椭圆定义求解.(2)由的轨迹方程、坐标的关系,利用代入法求的轨迹方程.解:(1)以所在的直线为轴,中点为原点建立直角坐标系.设点坐标为,由,知点的轨迹是以、为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因,,有,故其方程为.(2)设,,则.①由题意有代入①,得的轨迹方程为,其轨迹是椭圆(除去轴上两点).例4已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点到两焦点的距离分别为和,过

25、点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.解:设两焦点为、,且,.从椭圆定义知.即.从知垂直焦点所在的对称轴,所以在中,,可求出,,从而.∴所求椭圆方程为或.例5已知椭圆方程,长轴端点为,,焦点为,,是椭圆上一点,,.求:的面积(用、、表示).分析:求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边,从而利用求面积.解:如图,设,由椭圆的对称性,不妨设,由椭圆的对称性,不妨设在第一象限.由余弦定理知:·.①由椭圆定义知:②,则得.故.例6已知动圆过定点,且在定圆的内部与其相内切,求动圆圆心的轨迹方程.分析:关键是根据题意,列出点P满足的关系式.解:

26、如图所示,设动圆和定圆内切于点.动点到两定点,即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径,即.∴

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