椭圆知识点归纳总结和经典例题

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1、椭圆的基本知识1．椭圆的定义：把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c).2.椭圆的标准方程：（＞＞0）（＞＞0）焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程3.求轨迹方程的方法:定义法、待定系数法、相关点法、直接法解:(相关点法)设点M(x,y),点P(x0,y0),则x＝x0,y＝得x0＝x，y0＝2y.∵x02＋y02＝4,得x2＋(2y)2＝4,即所以点M的轨迹是一个椭圆.4.范围.x2≤a2，y2≤b2，∴

2、x

3、

4、≤a，

5、y

6、≤b．椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形里．5.椭圆的对称性椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．6.顶点只须令x＝0，得y＝±b，点B1(0,－b)、B2(0,b)是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A1(－a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A1(－a,0)、A2(a,0)、B1(0,－b)、B2(0,b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.长轴的长等于2a.短轴的长等于2b.a叫做椭圆的长半轴

7、长．b叫做椭圆的短半轴长．

8、B1F1

9、＝

10、B1F2

11、＝

12、B2F1

13、＝

14、B2F2

15、＝a．在Rt△OB2F2中，

16、OF2

17、2＝

18、B2F2

19、2－

20、OB2

21、2，即c2＝a2－b2．.椭圆典型例题例1已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值．解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得．又，所以，适合．故．例2已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在轴上时，设其方程为．由椭圆过点，知．又，代入

22、得，，故椭圆的方程为．当焦点在轴上时，设其方程为．由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为．例3的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解．（2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程．解：（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，故其方程为．（2）设，，则．①由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．例4已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆

23、的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即．从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，，可求出，，从而．∴所求椭圆方程为或．例5已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知：·．①由椭圆定义知：②，则得．故．例6已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，即定点和定圆圆心距

24、离之和恰好等于定圆半径，即．∴点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．例7已知椭圆（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则①－②得．由题意知，则上式两端同除以，有，将③④代入得．⑤（1）将

25、，代入⑤，得，故所求直线方程为：．⑥将⑥代入椭圆方程得，符合题意，为所求．（2）将代入⑤得所求轨迹方程为：．（椭圆内部分）（3）将代入⑤得所求轨迹方程为：．（椭圆内部分）（4）由①＋②得：，⑦，将③④平方并整理得，⑧，，⑨将⑧⑨代入⑦得：，⑩再将代入⑩式得：，即．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例8已知椭圆及直线．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．解：（1）把直线方程代入椭圆方程