全等三角形解题技巧

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1、造全等三角形解题的技巧全等三角形是初中几何《三角形》中的一个重要内容，是初中生必须掌握的三角形两大知识点之一（全等和相似），在解决几何问题时，若能根据图形特征添加恰当的辅助线，构造出全等三角形，并利用全等图形的性质，可以使问题化难为易，出奇制胜，现举几例供大家参考。友情提示：证明三角形全等的方法有SAS、SSS、AAS、ASA、HL（Rt△）。一、见角平分线试折叠，构造全等三角形例1如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC。求证：∠B：∠C=2：1。证法一：在线段AC上截取AE=AB，连接DE。在△ABD和

2、△AED中∵AE=AB，∠1=∠2，AD=AD，∴△ABD△AED。∴DE=DB，∠B=∠AED。∵AB+BD=AC，∴AE+DE=AC。又∵AE+CE=AC，∴DE=CE。∴∠C=∠EDC。∵∠AED=∠C+∠EDC，∴∠AED=2∠C，即∠B=2∠C。∴∠B：∠C=2：1。证法二：延长AB到F，使BF=BD，连接DF。∴∠F=∠BDF。∵∠ABC=∠F+∠BDF，∴∠ABC=2∠F。∵AB+BD=AC，∴AB+BF=AC，即AF=AC。在△ADF和△ADC中，∵AF=AC，∠1=∠2，AD=AD，∴△ADF△ADC。∴

3、∠F=∠C。又∵∠ABC=2∠F，∴∠ABC=2∠C，即∠ABC：∠C=2：1。点评：见到角平分线时，既可把△ABD沿AD折叠变成△AED，也可把△ACD沿AD折叠变成△AFD，利用全等三角形的性质，可使问题得以解决。练习：如图3，△ABC中，AN平分∠BAC，CN⊥AN于点N，M为BC中点，若AC=6，AB=10，求MN的长。图3提示：延长CN交于AB于点D。则△ACN△ADN，∴AD=AC=6。又AB=10，则BD=4。可证为△BCD的中位线。∴。点评：本题相当于把△ACN沿AN折叠成△AND。二、见中点“倍长”线段，

4、构造全等三角形例2如图4，AD为△ABC中BC上的中线，BF分别交AC、AD于点F、E，且AF=EF，求证：BE=AC。图4证明：延长AD到G，使DG=AD，连接BG。∵AD为BC上的中线，∴BD=CD，在△ACD和△GBD中，∵AD=DG，∠ADC=∠BDG，BD=CD，∴△ACD△GBD。∴AC=BG，∠CAD=∠G。∵AF=EF，∴∠CAD=∠AEF。∴∠G=∠AEF=∠BEG，∴BE=BG，∵AC=BG，∴BE=AC。点评：见中线AD，将其延长一倍，构造△GBD，则△ACD△GBD。例3如图5，两个全等的含有、角的

5、三角极ADE和ABC如图放置，E、A、C三点在同一直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC图5试判断△EMC的形状，并说明理由。解析：△EMC为等腰直角三角形。理由：分别延长CM、ED，使其相交于点N，可证△BCM△DNM。则BC=DN，CM=NM。由于△DEA△ACB，则DE=AC，AE=BC，∴DE+DN=AC+AE。即EN=EC，则△ENC为等腰直角三角形。∵CM=NM，∴EM⊥CN，则可知△EMC为等腰直角三角形。注：①本题也可取EC的中点N，连接MN，利用梯形中位线定理来证明。②亦可连接AM，利用角的度数来

6、证明。练习1：如图6，在平行四边形ABCD中，E为AD中点，连接BE、CE，∠BEC=，图6求证：（1）BE平分∠ABC。（2）若EC=4，且，求四边形ABCE的面积。提示：见图中所加辅助线，证△ABE△DFE。练习2：△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB的取值范围为多少？注：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。则△BDE△CDA。∴BE=AC=5，DE=AD=7。在△ABE中，BE=5，AE=14。利用三角形三边关系可求线段AB的取值范围为：9

7、分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠1=∠2。图7求证：BE+DF=AE。证明：延长CB到G，使BG=DF，连接AG。在△ABG和△ADF中，∵AB=AD，∠ABG=∠D=，BG=DF，∴△ABG△ADF。∴∠G=∠AFD，∠4=∠1。∵∠1=∠2，∴∠4=∠2。∵AB∥CD，∴∠AFD=∠2+∠3=∠4+∠3=∠GAE。又∵∠G=∠AFD，∴∠G=∠GAE。∴AE=GE。∵EG=BE+BG=BE+DF，∴BE+DF=AE。从以上几例可以看出，全等三角形在证明中具有出奇制胜的作用。在解决有关角平分线、中点、线段的和差

8、的问题时，通过添加辅助线构造全等三角形的办法，不仅能使问题迎刃而解，而且有助于学生创新思维的培养，提高学生的数学思维能力和分析能力。1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形．1.全等三角形有如下性质：(1)全等三角形的对应边相等；(2)全等三角形的对应角相等；(3)全等三角形的对应中线、