自动控制原理第2章课后习题及解答.pdf

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1、第2章习题及解答2-1建立图2-32所示各机械系统的微分方程（其中F(t)为外力，x(t)、y(t)为位移；k为弹性系数，f为阻尼系数，m为质量；忽略重力影响及滑块与地面的摩擦）。图2-32系统原理图解.（a）以平衡状态为基点，对质块m进行受力分析（不再考虑重力影响），如图解2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出2dydyF(t)−ky(t)−f=m2dtdt整理得2dy(t)fdy(t)k1++y(t)=F(t)2dtmdtmm（b）如图解2-1(b)所示，取A,B两点分别进行受力分析。对A点有dxdy1k(x−x)

2、=f(−)（1）11dtdt对B点有dxdy1f(−)=ky（2）2dtdt联立式（1）、（2）可得：dykkkdx121+y=dtf(k+k)k+kdt1212(c)如图解2-1(c)所示，取A,B两点分别进行受力分析。对A点有2dxF(t)−k(x−y)=m(3)2dt-12-2dy对B点有k(x−y)=m（4）2dt联立式（3）、（4）消去中间变量x可得42dy2KdyK+=Ft()422dtmdtm图解2-1(c)2-2应用复数阻抗方法求图2-33所示各无源网络的传递函数。CCR1LR1RRur(t)CR2u

3、c(t)ur(t)R2uc(t)ur(t)Cuc(t)（a）（b）（c）图2-33无源网络解.(a)应用复数阻抗概念可写出1R1U(s)=csI(s)+U(s)（1）rc1R+1csUs()cIs()=（2）R2联立式（1）、式（2），可解得U(s)R(1+RCs)c21=U(s)R+R+RRCsr1212微分方程为ducR1+R2dur1+u=+ucrdtCRRdtCR121(b)由图解2-2（b）可写出1UsRIsIsIs()=++()[()()]（3）rRRCCs1I()s=RIs()−RI()s（4）CRCC

4、s1图解2-2（b）UsCc()=++IsRIsIs()[RC()()]（5）Cs-13-联立式（3）、式（4）、式（5），消去中间变量I(s)和I(s)，可得CR222Uc(s)RCs+2RCs+1=222Ur(s)RCs+3RCs+122du3du1du2du1微分方程为ccrr++u=++u222c222rdtCRdtCRdtCRdtCR(c)由图解2-2（c）可写出UsRIsIsr()=11[()+2()(]++LsRIs22)()(6)1I(s)=(Ls+R)I(s)(7)122CsU(s)=RI(s)(8

5、)c22图解2-2(c)联立式（6）、（7）、（8），消去中间变量I(s)和I(s)，可得12U(s)Rc2=2Ur(s)R1LCs+(L+R1R2C)s+(R1+R2)2duLRRC++duRRR微分方程为cc12122++=uu2crdtRLCdtRLCRLC1112-3证明图2-34(a)所示的力学系统和图2-34(b)所示的电路系统是相似系统（即有相同形式的数学模型）。图2-34系统原理图解(a)取A、B两点分别进行受力分析，如图解2-3(a)所示。对A点有k(x−y)+f(x−y)=f(y−y)(1

6、)2211-14-对B点有f1(y−y1)=k1y1(2)对式（1）、式（2）分别取拉普拉斯变换，消去中间变量y，整理后得1ffff12212s+(+)s+1Y(s)k1k2k1k2=X(s)f1f22f1f2f2图解2-3(a)s+(++)s+1kkkkk12121(b)由图可写出Uc(s)Usr()=11R2+R1⋅C2s1Cs1R++2Cs12R+1Cs1整理得2U(s)RRCCs+(RC+RC)s+1c12121122=2Ur(s)R1R2C1C2s+(R1C1+R2C2+R1C2)s+1比较两系统的传递

7、函数，如果设R=1k，R=1k，C=f，C=f，则两系统11221122的传递函数相同，所以两系统是相似的。2-4如图2-35所示，二极管是一个非线性元件，其电流i和电压u之间的关系为ddud−140.026−3ie=10(−1)，假设电路在工作点uV(0)=2.39，iA(0)=2.1910×处做微小变d化，试推导i=fu()的线性化方程。dd解将iA(0)=2.1910×−3代入i=10−14(eud/0.026−1)d解得u=0.679Vd0将i=10−14(eud/0.026−1)在(u，i)处展开为泰勒级数

8、，dd00并取一次近似，有图2-35二极管电路10−141ud0/0.026i=i+∆i=i+⋅⋅e⋅∆ud0d0d0.026∆=i10−14⋅1⋅euud0/0.026⋅∆=0.085⋅∆uddd0.026-15-即在(u，i)附近i=f(u)的线性化方程为∆=iu0.085⋅∆。d00dddddhα12-5假设某容器的液位高度h与液体流入量