自动控制原理第2章课后习题及解答.pdf

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1、第2章习题及解答2-1建立图2-32所示各机械系统的微分方程(其中F(t)为外力,x(t)、y(t)为位移;k为弹性系数,f为阻尼系数,m为质量;忽略重力影响及滑块与地面的摩擦)。图2-32系统原理图解.(a)以平衡状态为基点,对质块m进行受力分析(不再考虑重力影响),如图解2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出2dydyF(t)−ky(t)−f=m2dtdt整理得2dy(t)fdy(t)k1++y(t)=F(t)2dtmdtmm(b)如图解2-1(b)所示,取A,B两点分别进行受力分析。对A点有dxdy1k(x−x)

2、=f(−)(1)11dtdt对B点有dxdy1f(−)=ky(2)2dtdt联立式(1)、(2)可得:dykkkdx121+y=dtf(k+k)k+kdt1212(c)如图解2-1(c)所示,取A,B两点分别进行受力分析。对A点有2dxF(t)−k(x−y)=m(3)2dt-12-2dy对B点有k(x−y)=m(4)2dt联立式(3)、(4)消去中间变量x可得42dy2KdyK+=Ft()422dtmdtm图解2-1(c)2-2应用复数阻抗方法求图2-33所示各无源网络的传递函数。CCR1LR1RRur(t)CR2u

3、c(t)ur(t)R2uc(t)ur(t)Cuc(t)(a)(b)(c)图2-33无源网络解.(a)应用复数阻抗概念可写出1R1U(s)=csI(s)+U(s)(1)rc1R+1csUs()cIs()=(2)R2联立式(1)、式(2),可解得U(s)R(1+RCs)c21=U(s)R+R+RRCsr1212微分方程为ducR1+R2dur1+u=+ucrdtCRRdtCR121(b)由图解2-2(b)可写出1UsRIsIsIs()=++()[()()](3)rRRCCs1I()s=RIs()−RI()s(4)CRCC

4、s1图解2-2(b)UsCc()=++IsRIsIs()[RC()()](5)Cs-13-联立式(3)、式(4)、式(5),消去中间变量I(s)和I(s),可得CR222Uc(s)RCs+2RCs+1=222Ur(s)RCs+3RCs+122du3du1du2du1微分方程为ccrr++u=++u222c222rdtCRdtCRdtCRdtCR(c)由图解2-2(c)可写出UsRIsIsr()=11[()+2()(]++LsRIs22)()(6)1I(s)=(Ls+R)I(s)(7)122CsU(s)=RI(s)(8

5、)c22图解2-2(c)联立式(6)、(7)、(8),消去中间变量I(s)和I(s),可得12U(s)Rc2=2Ur(s)R1LCs+(L+R1R2C)s+(R1+R2)2duLRRC++duRRR微分方程为cc12122++=uu2crdtRLCdtRLCRLC1112-3证明图2-34(a)所示的力学系统和图2-34(b)所示的电路系统是相似系统(即有相同形式的数学模型)。图2-34系统原理图解(a)取A、B两点分别进行受力分析,如图解2-3(a)所示。对A点有k(x−y)+f(x−y)=f(y−y)(1

6、)2211-14-对B点有f1(y−y1)=k1y1(2)对式(1)、式(2)分别取拉普拉斯变换,消去中间变量y,整理后得1ffff12212s+(+)s+1Y(s)k1k2k1k2=X(s)f1f22f1f2f2图解2-3(a)s+(++)s+1kkkkk12121(b)由图可写出Uc(s)Usr()=11R2+R1⋅C2s1Cs1R++2Cs12R+1Cs1整理得2U(s)RRCCs+(RC+RC)s+1c12121122=2Ur(s)R1R2C1C2s+(R1C1+R2C2+R1C2)s+1比较两系统的传递

7、函数,如果设R=1k,R=1k,C=f,C=f,则两系统11221122的传递函数相同,所以两系统是相似的。2-4如图2-35所示,二极管是一个非线性元件,其电流i和电压u之间的关系为ddud−140.026−3ie=10(−1),假设电路在工作点uV(0)=2.39,iA(0)=2.1910×处做微小变d化,试推导i=fu()的线性化方程。dd解将iA(0)=2.1910×−3代入i=10−14(eud/0.026−1)d解得u=0.679Vd0将i=10−14(eud/0.026−1)在(u,i)处展开为泰勒级数

8、,dd00并取一次近似,有图2-35二极管电路10−141ud0/0.026i=i+∆i=i+⋅⋅e⋅∆ud0d0d0.026∆=i10−14⋅1⋅euud0/0.026⋅∆=0.085⋅∆uddd0.026-15-即在(u,i)附近i=f(u)的线性化方程为∆=iu0.085⋅∆。d00dddddhα12-5假设某容器的液位高度h与液体流入量

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