自动控制原理 第3章习题解答.pdf

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1、第7章控制系统的时域分析习题及解答7-1什么是非线性系统？非线性系统的有哪些特点？答在系统中只要有一个元器件的特性不能用线性微分方程描述其输入和输出关系，则称为非线性系统。7-2绘出并研究下列方程的相平面图。（1）&x&+x&+x=0x&1=x1+x2（2）x&=2x+x212解：（1）系统方程为Ι:&x&+x&+x=0(x>0)ΙΙ:&x&+x&−x=0(x<0)令&&xx==&0，得平衡点：x=0。e系统特征方程及特征根：132Ι:1ss++=0,s=−±j(稳定的焦点)1,222ΙΙ:ss2+−=10,s=−1.618,+0.618(鞍点)1,2dx&

2、&x&=f(x,x&)=−x&−x,x&=−x&−xdxdx&x−1q==−1−,x&=xdxx&1+q上式可以得出等倾线为过原点的直线。−1当x>0时，x&=x1+q当q为不同值时，可以得到不同的等倾线方程。q=−1,x=∞；q=−1.2,x=5x；q=−1.4,x=2.5x；q=2,x=x2212121112q=∞,x=0；q=1,x=−x；q=0,x=−x；q=,x=−x22121212231当x<0时，x&=x1+q当q为不同值时，可以得到不同的等倾线方程。q=−1,x=∞；q=−1.2,x=−5x；221q=−1.4,x=−2.5x；q=−2,x=−x2121112q=

3、1,x=x；q=0,x=x；q=,x=x212121223综上可得相平面图为：dxx+x212（2）==qdx2x+x112x=0,x=0零点为奇点1211−2q整理得：x=x21q−11−2q等倾线为过零点的直线，令p=则x=px，21q−1q=∞,x=−2x；q=5,x=−2.5x；q=2,x=−3x；212121q=1,x=−∞x；q=0.5,x=0x；2121p∞410.50-0.5-1-2-33/2q17/33/43/51/21/30∞2-1x=px21综上可得相平面图为：27-3已知非线性系统的微分方程式为&x&+0.5x&+2x+x=0,试求奇点，并绘制出相平面图。

4、2dx&−0.5x&−2x−x解：求奇点。由题中微分方程：=dxx&2若x&=0，则有0.5x&+2x+x=0求得相轨迹的奇点分别为：（0，0）和（－2，0）。（2）在奇点（0，0）处泰勒级数展开：。故此奇点为稳定焦点。（3）分析在奇点处泰勒级数展开，令，由，，因此奇点为鞍点。图7-37-4如题7-4图所示得具有非线性反馈增益的二阶系统，在输出微分反馈回路中，非线性元件具有饱和特性。试在e−e&平面上画出具有代表性的相轨迹，以表示对各种条件的影响，假设K=5,J=1,a=1。解：c&&=5u；c&=v2vv≤1b=1v>1−1v<−1e=r−c；u=e−be&&+5e

5、&+5e=&r&+5r&v≤1由以上方程，得e&&+5e−5=&r&v>1（1）e&&+5e+5=&r&v<−1当输入为阶跃信号r(t)=R时，则&r&=r&=0e&&+5e&+5e=0e&≤1∴方程组（1）可化为：e&&+5e−5=0−e&>1e&&+5e+5=0−e&<−1de&5e&+5e=−e&≤1dee&de&5−5e∴相轨迹方程为：=−e&>1dee&de&−5−5e=−e&<−1dee&∴相轨迹分为三个区1、2、3为：开关线e&=1,e&=−1de&5e&+5e先考虑1区：=−=q奇点（0，0）dee&5ee&=−=pe过零点的直

6、线q+5p∞210.50-0.5-1-2q-5-7.5-10-15∞50-2.5de&5−5e552区：==q，e&=−e+=pe+bdee&qqb∞210.50-0.5-1-2q02.5510∞-10-5-2.5p∞-2-1-0.500.51211q=0,e=1；q=2.5,e&=−2e+2；q=5,e&=−e+1；q=10,e&=−e+；22q=∞,e&=0e；q=−1,e&=5e−5；q=−2,e&=2.5e−2.5；q=−5,e&=1e−1de&−5−5e553区：==q，e&=−e−dee&qqb∞210.50-0.5-1-2q02.5510∞-10-5-2.5p∞-2

7、-1-0.500.51211q=0,e=−1；q=2.5,e&=−2e−2；q=5,e&=−e−1；q=10,e&=−e−；22q=∞,e&=0e；q=−1,e&=−5e+5；q=−2,e&=−2.5e+2.5；q=−5,e&=−1e+137-5系统如题7-5图所示，假设系统仅受到初始条件作用，试画出e−e&平面上的相轨迹。解：微分方程为：e=−c&−cc&&=uMe>0u=−Me<0由上述方程得：e&=−c&&−c&=−u−c&当e=0,u&≠0，e&&=−u&−u当e≠