数列典型例题讲解

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1、【典型例题】(一)研究等差等比数列的有关性质1.研究通项的性质例题1.已知数列满足.(1)求;(2)证明:.解:(1).(2)证明:由已知,故,所以证得.例题2.数列的前项和记为(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)等差数列的各项为正,其前项和为,且,又成等比数列,求.解:(Ⅰ)由可得,两式相减得:,又∴故是首项为1,公比为3的等比数列∴(Ⅱ)设的公比为,由得,可得,可得故可设,又,由题意可得,解得∵等差数列的各项为正,∴∴∴例题3.已知数列的前三项与数列的前三项对应相同,且对任意的都成立,数列是等差数列.⑴求数列

2、与的通项公式;⑵是否存在,使得,请说明理由.点拨:(1)左边相当于是数列前n项和的形式,可以联想到已知求的方法,当时,.(2)把看作一个函数,利用函数的思想方法来研究的取值情况.解:(1)已知…)①时,…)②①-②得,,求得,在①中令,可得得,所以N*).由题意,,,所以,,∴数列的公差为,∴,).(2),当时,单调递增,且,所以时,,又,所以,不存在,使得.例题4.设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足:an、bn、an+1成等差数列,bn、an+1、bn+1成等比数列,且a1=1,b1=2,a2

3、=3,求通项an,bn解:依题意得:2bn+1=an+1+an+2①a2n+1=bnbn+1②∵an、bn为正数,由②得,代入①并同除以得:,∴为等差数列∵b1=2,a2=3,,∴,∴当n≥2时,,又a1=1,当n=1时成立,∴2.研究前n项和的性质例题5.已知等比数列的前项和为,且.(1)求、的值及数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.解:(1)时,.而为等比数列,得,又,得,从而.又.(2),),得,.例题6.数列是首项为1000,公比为的等比数列,数列满足,(1)求数列的前项和的最大值;(2)

4、求数列的前项和.解:(1)由题意:,∴,∴数列是首项为3,公差为的等差数列,∴,∴由,得,∴数列的前项和的最大值为.(2)由(1)当时,,当时,,∴当时,当时,∴.例题7.已知递增的等比数列{}满足,且是,的等差中项.(1)求{}的通项公式;(2)若,求使成立的的最小值.解:(1)设等比数列的公比为q(q>1),由a1q+a1q2+a1q3=28,a1q+a1q3=2(a1q2+2),得:a1=2,q=2或a1=32,q=(舍)∴an=2·2(n-1)=2n(2)∵,∴Sn=-(1·2+2·22+3·2

5、3+…+n·2n)∴2Sn=-(1·22+2·23+…+n·2n+1),∴Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=-(n-1)·2n+1-2,若Sn+n·2n+1>30成立,则2n+1>32,故n>4,∴n的最小值为5.例题8.已知数列的前n项和为Sn,且成等差数列,.函数.(I)求数列的通项公式;(II)设数列满足,记数列的前n项和为Tn,试比较的大小.解:(I)成等差数列,①当时,②.①-②得:,,当n=1时,由①得,又是以1为首项3为公比的等比数列,(II)∵,,,比较的大小,只需比较与31

6、2 的大小即可.∵∴当时,当时,当时,.3.研究生成数列的性质例题9.(I)已知数列,其中,且数列为等比数列,求常数;(II)设、是公比不相等的两个等比数列,,证明数列不是等比数列.解:(Ⅰ)因为{cn+1-pcn}是等比数列,故有(cn+1-pcn)2=(cn+2-pcn+1)(cn-pcn-1),将cn=2n+3n代入上式,得[2n+1+3n+1-p(2n+3n)]2=[2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)]·[2n+3n-p(2n-1+3n-1)],即[(2-p)2n+(3-p)3n]2=

7、[(2-p)2n+1+(3-p)3n+1][(2-p)2n-1+(3-p)3n-1],整理得(2-p)(3-p)·2n·3n=0,解得p=2或p=3.(Ⅱ)设{an}、{bn}的公比分别为p、q,p≠q,cn=an+bn.为证{cn}不是等比数列只需证≠c1·c3.事实上,=(a1p+b1q)2=p2+q2+2a1b1pq,c1·c3=(a1+b1)(a1p2+b1q2)=p2+q2+a1b1(p2+q2).由于p≠q,p2+q2>2pq,又a1、b1不为零,因此c1·c3,故{cn}不是等比数列.例题

8、10.n2(n≥4)个正数排成n行n列:其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等已知a24=1,求S=a11+a22+a33+…+ann解:设数列{}的公差为d,数列{}(i=1,2,3,…,n)的公比为q则=a11+(k-1)d,akk=[a11+(k-1)d]qk-1依题意得:,解得:a11=d=q=±又n2个数都是正数,∴a11=d=q=,∴akk=,,两式相减得:例题11.已知函数的图象经过点和,记(1)求数

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