数列典型例题讲解

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1、【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质1.研究通项的性质例题1.已知数列满足.（1）求；（2）证明：.解：（1）.（2）证明：由已知，故，所以证得.例题2.数列的前项和记为（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求.解：（Ⅰ）由可得，两式相减得：，又∴故是首项为1，公比为3的等比数列∴（Ⅱ）设的公比为，由得，可得，可得故可设，又，由题意可得，解得∵等差数列的各项为正，∴∴∴例题3.已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且对任意的都成立，数列是等差数列.⑴求数列

2、与的通项公式；⑵是否存在，使得，请说明理由.点拨：（1）左边相当于是数列前n项和的形式，可以联想到已知求的方法，当时，.（2）把看作一个函数，利用函数的思想方法来研究的取值情况.解：（1）已知…）①时，…）②①－②得，，求得，在①中令，可得得，所以N*）.由题意，，，所以，，∴数列的公差为，∴，）.（2），当时，单调递增，且，所以时，，又，所以，不存在，使得.例题4.设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，且a1=1，b1=2，a2

3、=3，求通项an，bn解：依题意得：2bn+1=an+1+an+2①a2n+1=bnbn+1②∵an、bn为正数，由②得，代入①并同除以得：，∴为等差数列∵b1=2，a2=3，，∴，∴当n≥2时，，又a1=1，当n=1时成立，∴2.研究前n项和的性质例题5.已知等比数列的前项和为，且.（1）求、的值及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）时，.而为等比数列，得，又，得，从而.又.（2），），得，.例题6.数列是首项为1000，公比为的等比数列，数列满足，（1）求数列的前项和的最大值；（2）

4、求数列的前项和.解：（1）由题意：，∴，∴数列是首项为3，公差为的等差数列，∴，∴由，得，∴数列的前项和的最大值为.（2）由（1）当时，，当时，，∴当时，当时，∴.例题7.已知递增的等比数列{}满足，且是，的等差中项.（1）求{}的通项公式；（2）若，求使成立的的最小值.解：（1）设等比数列的公比为q（q＞1），由a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2或a1=32，q=（舍）∴an=2·2（n－1）=2n（2）∵，∴Sn=－（1·2+2·22+3·2

5、3+…+n·2n）∴2Sn=－（1·22+2·23+…+n·2n+1），∴Sn=2+22+23+…+2n－n·2n+1=－（n－1）·2n+1－2，若Sn+n·2n+1＞30成立，则2n+1＞32，故n＞4，∴n的最小值为5.例题8.已知数列的前n项和为Sn，且成等差数列，.函数.（I）求数列的通项公式；（II）设数列满足，记数列的前n项和为Tn，试比较的大小.解：（I）成等差数列，①当时，②.①－②得：，，当n=1时，由①得，又是以1为首项3为公比的等比数列，（II）∵，，，比较的大小，只需比较与31

6、2 的大小即可.∵∴当时，当时，当时，.3.研究生成数列的性质例题9.（I）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数；（II）设、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列.解：（Ⅰ）因为{cn+1－pcn}是等比数列，故有（cn+1－pcn）2=（cn+2－pcn+1）（cn－pcn－1），将cn=2n＋3n代入上式，得[2n＋1+3n＋1－p（2n＋3n）]2=[2n＋2+3n＋2－p（2n+1＋3n+1）]·[2n+3n－p（2n－1＋3n－1）]，即[（2－p）2n+（3－p）3n]2=

7、[（2－p）2n+1+（3－p）3n+1][（2－p）2n－1+（3－p）3n－1]，整理得（2－p）（3－p）·2n·3n=0，解得p=2或p=3.（Ⅱ）设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠q，cn=an+bn.为证{cn}不是等比数列只需证≠c1·c3.事实上，=（a1p＋b1q）2=p2＋q2＋2a1b1pq，c1·c3=（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）=p2＋q2＋a1b1（p2＋q2）.由于p≠q，p2＋q2>2pq，又a1、b1不为零，因此c1·c3，故{cn}不是等比数列.例题

8、10.n2（n≥4）个正数排成n行n列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知a24=1，求S=a11+a22+a33+…+ann解：设数列{}的公差为d，数列{}（i=1，2，3，…，n）的公比为q则=a11+（k－1）d，akk=[a11+（k－1）d]qk－1依题意得：，解得：a11=d=q=±又n2个数都是正数，∴a11=d=q=，∴akk=，，两式相减得：例题11.已知函数的图象经过点和，记（1）求数