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1、一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜
2、F1F2
3、）的点的轨迹（（为常数））。这两个定点叫双曲线的焦点。要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a＜
4、F1F2
5、。当
6、MF1
7、－
8、MF2
9、=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当
10、MF1
11、－
12、MF2
13、=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=
14、F1F2
15、时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单或两边之差小于第三边当2a＞
16、F1F2
17、时，动点轨迹不存在。2、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线l（准线
18、）的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。二、双曲线的标准方程（，其中
19、
20、=2c）焦点在x轴上：（a＞0，b＞0）焦点在y轴上：（a＞0，b＞0）（1）如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上。a不一定大于b。判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上（2）与双曲线共焦点的双曲线系方程是（3）双曲线方程也可设为：三、双曲线的性质双曲线标准方程（焦点在轴）标准方程（焦点在轴）定义第一定
21、义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。PP第二定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数，当时，动点的轨迹是双曲线。定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数（）叫做双曲线的离心率。PPPP范围，，对称轴轴，轴；实轴长为,虚轴长为对称中心原点焦点坐标焦点在实轴上，；焦距：顶点坐标（,0）(,0)(0,,)(0，)离心率1)，，e越大则双曲线开口的开阔度越大准线方程准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：顶点到准线的距离顶点（）到准线（）的距离
22、为顶点（）到准线（）的距离为焦点到准线的距离焦点（）到准线（）的距离为焦点（）到准线（）的距离为渐近线方程()，和()将右边的常数设为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解共渐近线的双曲线系方程（）（）直线和双曲线的位置双曲线与直线的位置关系：利用转化为一元二次方程用判别式确定。二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦AB的弦长通径：与椭圆一样过双曲线上一点的切线或利用导数或利用导数四、双曲线的参数方程：椭圆为五、弦长公式1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于A（x1,y1）B（x2,y2）两点，则k为直线斜率[提醒]解决直线与椭
23、圆的位置关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法。2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长。3、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解六、焦半径公式双曲线（a＞0，b＞0）上有一动点左焦半径：r=│ex+a│右焦半径：r=│ex-a│当在左支上时,当在右支上时,左支上绝对值加-号，右支上不用变化双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）构成满足注：焦半径公式是关于的一次函数，具有单调性，
24、当在左支端点时，，当在左支端点时，七、等轴双曲线（a＞0，b＞0）当时称双曲线为等轴双曲线1。；2。离心率；3。两渐近线互相垂直，分别为y=；4。等轴双曲线的方程，；八、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线。与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.九、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线点在双曲线的内部代值验证，如点在双曲线的外部点在双曲线上2、直线与双曲线代数法：设直线，双曲线联立解得（1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；，，或k不存在
25、时，直线与双曲线没有交点；（2）时，存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；相交若，时，，直线与双曲线相交于两点；时，，直线与双曲线相离，没有交点；时，直线与双曲线有一个交点；相切不存在，时，直线与双曲线没有交点；直线与双曲线相交于两点；十、双曲线与渐近线的关系1、若双曲线方程为渐近线方程：2、若双曲线方程为（a＞0，b＞0）渐近线方程：3、若渐近线方程为双曲线可设为,。4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）十一、双曲线与切线方程1、双曲线上一点处的切线方程是。2、过双曲线外一点所引
26、两条切线的切点弦方程是。3、双曲线与直线相切的条件是。椭圆与双曲线共同点归纳十二、顶点连线斜率双曲线一点与两顶点连线的斜率
