从记数法到复数域：数系理论的历史发展(1)

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1、从记数法到复数域：数系理论的历史发展(1)摘要：数系理论的历史发展表明，数的概念的每一次扩张都标志着数学的进步，但是这种进步并不是按照数学教科书的逻辑步骤展开的。希腊人关于无理数的发现暴露出有理数系的缺陷，而实数系的完备性一直要到19世纪才得以完成。负数早在《九章算术》中就已被中国数学家所认识，然而，15世纪的欧洲人仍然不愿意承认负数的意义。“四元数”的发明，打开了通向抽象代数的大门，同时也宣告在保持传统运算定律的意义下，复数是数系扩张的终点。人类发明的记数法并没有束缚自己的想象力，中国古代“数穷则变”

2、的思想对于当代数学哲学仍具有积极的意义。关键词：数系；记数法；实数理论；复数扩张Abstract:Thedevelopmentofthenumbersystemthroughgenerationofthenumberconceptisoneoftheinstructivestudiesinthehistoryofmathematics.Theprogressesofthenumberconceptsdidnotmatchthelogicalstepsthatappearedinthetextbooks.

3、Theirrationalnumbers,etry,exposedthefactthattherearemany“gaps”intherationalnumbersystem,buttheperfectoftherealnumberhadnotbeenproveduntil19thcentury.In15thcentury,thenegativenumbersber,althoughitsconceptsandoperationrulesathematiciansintheNineChaptersofA

4、rithmetic.Fromtheintegerstotheplexnumbers,thegeneralizationofthenumberoperations,theassociative,mutative,anddistributivelaultiplicationremainedunchanged.Furtherdevelopmentofthenumberconceptentalpostulatesofalgebra.possibletoconstructaclassofnumbersmorege

5、neralthantheplexnumberifallthepostulatesareretainederalsystem；numeration；theoryofrealnumber；theexpansionofplexnumber　引言　　数，是数学中的基本概念，也是人类文明的重要组成部分。数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃。一个时代人们对于数的认识与应用，以及数系理论的完善程度，反映了当时数学发展的水平。今天，我们所应用的数系，已经构造的如此完备和缜密，以致于在科学技术和社会生活的一切领域中

6、，它都成为基本的语言和不可或缺的工具。在我们得心应手地享用这份人类文明的共同财富时，是否想到在数系形成和发展的历史过程中，人类的智慧所经历的曲折和艰辛呢？　一、记数法、位置制和零　　人类在进化的蒙昧时期，就具有了一种“识数”的才能，心理学家称这种才能为“数觉”（perceptionofnumber）。动物行为学家则认为，这种“数觉”并非为人类所独有。人类智慧的卓越之处在于他们发明了种种记数方法。《周易·系辞下》记载“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”。东汉郑玄称：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。结之

7、多少，随物众寡”。以结绳和书契记数的方法实际上遍及世界各地，如希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦、伊斯兰和中美洲国家都有文献记载和实物标本。直到1826年，英国财政部才决定停止采用符契作为法定记数器。随着人类社会的进步，数的语言也在不断发展和完善。数系发展的第一个里程碑出现了：位置制记数法。所谓位置制记数法，就是运用少量的符号，通过它们不同个数的排列，以表示不同的数。引起历史学家、数学史家兴趣的是，在自然环境和社会条件影响下，不同的文明创造了迥然不同的记数方法。如巴比伦的楔形数字系统、埃及象形数字系统、希腊人字

8、母数字系统、玛雅数字系统、印度—阿拉伯数字系统和中国的算筹记数系统。四、实数理论的完善　　无理数的发现，击碎了Pythagoras学派“万物皆数”的美梦。同时暴露出有理数系的缺陷：一条直线上的有理数尽管是“稠密”，但是它却漏出了许多“孔隙”，而且这种“孔隙”多的“不可胜数”。这样，古希腊人把有理数视为是连续衔接的那种算术连续统的设想，就彻底的破灭了。它的破灭，在以后两千多年时间内，对数学的发展，起到了深远的影响。不可通约的本质是什么？长期以