中考数学综合题专题复习【圆】专题解析

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时间:2018-11-08

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1、.中考数学综合题专题复习【圆】专题解析一.教学内容:1.圆的内容包括:圆的有关概念和基本性质,直线和圆的位置关系,圆和圆的位置关系,正多边形和圆。2.主要定理:(1)垂径定理及其推论。(2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。(3)圆周角定理、弦切角定理及其推论。(4)圆内接四边形的性质定理及其推论。(5)切线的性质及判定。(6)切线长定理。(7)相交弦、切割线、割线定理。(8)两圆连心线的性质,两圆的公切线性质。(9)圆周长、弧长;圆、扇形,弓形面积。(10)圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。

2、(11)正n边形的有关计算。二.中考聚焦:圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表:圆的知识在中考中所占的比例大,题型多,常见的有填空题、选择题、计算题或证明题,近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题,中考的压轴题都综合了圆的知识。三.知识框图:...【典型例题】【例1】.爆破时,导火索燃烧的速度是每秒0.9cm,点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm,那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全?分析:爆破时的安全区域是以爆破点为圆心,以

3、120m为半径的圆的外部,如图所示:...解:∴点导火索的人非常安全【例2】.已知梯形ABCD内接于⊙O,AB∥CD,⊙O的半径为4,AB=6,CD=2,求梯形ABCD的面积。分析:要求梯形面积必须先求梯形的高,即弦AB、CD间距离,为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理,故作OE⊥CD于E,延长EO交AB于F,证OF⊥AB。此题容易出现丢解的情况,要注意分情况讨论。解:分两种情况讨论:(1)当弦AB、CD分别在圆心O的两侧时,如图(1):过O作OE⊥CD于E,延长EO交AB

4、于F连OC、OB,则CE=DE∵AB∥CD,OE⊥CD∴OF⊥AB,即EF为梯形ABCD的高在Rt△OEC中,∵EC=1,OC=4(2)当弦AB、CD在圆心O的同侧时,如图(2):...过O作OE⊥CD于E,交AB于F以下证法同(1),略。【例3】.如图,已知AB为⊙O的直径,P是OB的中点,求tanC·tanD的值。分析:为了求tanC·tanD的值,需要分别构造出含有∠C和∠D的两个直角三角形。而AB是直径,为我们寻找直角创造了条件。连BC、BD,则得到Rt△ACB和Rt△ADB。可以发现∠

5、ACD=∠ABD,∠ADC=∠ABC,于是,可以把tanC·tanD转化为解:连结BC、BD∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°∵∠ACD=∠ABD,∠ADC=∠ABC作AE⊥CD于E,作BF⊥CD于F则△AEC∽△ADB∴AC·AD=AE·AB同理,BD·BC=BF·AB...∵△APE∽△BPF∵P为半径OB的中点∴tanC·tanD=3【例4】.分析:由已知条件,等边△ABC可得60°角,根据圆的性质,可得∠ADB=60°,利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形,再证两个三角

6、形全等,从而转移线段DC。证明:延长DB至点E,使BE=DC,连结AE∵△ABC是等边三角形∴∠ACB=∠ABC=60°,AB=AC∴∠ADB=∠ACB=60°∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠ABE=∠ACD在△AEB和△ADC中,∴AE=AD∵∠ADB=60°∴△AED是等边三角形∴AD=DE=DB+BE∵BE=DC∴DB+DC=DA说明:本例也可以用其他方法证明。如:(1)延长DC至F,使CF=BD,连结AF,再证△ACF≌△ABD,得出AD=DF,从而DB+CD=DA。...(2)在DA

7、上截取DG=DC,连结CG,再证△BDC≌△AGC,得出BD=AG,从而DB+CD=DA。【例5】.如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径,AD=DC,分别延长BA、CD交于点E,BF⊥EC交EC的延长线于F,若EA=AO,BC=12,求CF的长。分析:在Rt△CFB中,已知BC=12,求CF,故可寻找与之相似的直角三角形,列比例式求解。解:连结OD,BD∴∠ABC=∠AOD∴OD∥BC∵EA=AO,∴EA=AO=BO∴AB=16,BE=24∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠EDA=∠EBC

8、∵∠E是公共角∴△EDA∽△EBC设AD=DC=x,ED=y,则有∵AB为⊙O的直径∴∠ADB=∠F=90°又∠DAB=∠FCB∴Rt△ADB∽Rt△CFB...说明:与圆有关的问题,大都与相似三角形联系在一起。此题运用了两次相似三角形,找到线段之间的关系,并且运用了方程的思想解几何问题,这是解几何问题的一种重要方法。【例6】.如图,已知等腰△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于解:连结FD∵AB是直径,∴AD⊥BC∵AB=AC,∴BD=DC,∠FAD=∠DAB∵四边形AB

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