函数的基本性质(考点加经典例题分析)

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1、函数的基本性质函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性一、单调性1、定义：对于函数，对于定义域内的自变量的任意两个值，当时，都有，那么就说函数在这个区间上是增（或减）函数。2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。）3．二次函数的单调性：对函数，当时函数在对称轴的左侧单调减小，右侧单调增加；当时函数在对称轴的左侧单调增加，右侧单调减小；例1：讨论函数在(-2,2)内的单调性。4．证明方法和步骤：⑴设元：设是给定区间上任意两个值，且；⑵作差：；⑶变形：（如因式分解、

2、配方等）；⑷定号：即；⑸根据定义下结论。例2、判断函数在上的单调性并加以证明.-5-5．复合函数的单调性：复合函数在区间具有单调性的规律见下表：增↗减↘增↗减↘增↗减↘增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。例3：函数的单调减区间是（）A.B.C.D.6．函数的单调性的应用：判断函数的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。例4：求函数在区间上的最大值和最小值.二、奇偶性1．定义：如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有，那么函数f(x)就叫偶函数；（等价于：）如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有，那么函数f(x)就叫奇函数。

3、（等价于：）注意：当时，也可用来判断。2．奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。若函数为奇函数，且在x=0处有定义，则；3．判断一个函数的奇偶性的步骤⑴先求定义域，看是否关于原点对称;⑵再判断或是否恒成立。-5-4．奇偶函数图象的性质奇函数的图象关于原点对称。反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数。偶函数的图象关于y轴对称。反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数。5．常用结论：(1)奇偶性满足下列性质：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。(2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单

4、调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。例4：判断函数的奇偶性。分析：解此题的步骤（1）求函数的定义域；（2）化简函数表达式；（3）判断函数的奇偶性针对性练习：1、判断下列各函数是否具有奇偶性⑴、⑵、⑶、⑷、⑸、⑹、2、判断函数的奇偶性。3、已知且，那么（利用奇偶性求函数值）4、已知偶函数在上为减函数，比较，，的大小。（利用奇偶性比较大小）5、已知为偶函数，求的解析式？（利用奇偶性求解析式）-5-6、若是偶函数，讨论函数的单调区间？（利用奇偶性讨论函数的单调性）7、已知函数是偶函数，判断的奇偶性。（利用奇偶性判断函数的奇偶性）8、定义在R上的偶函数在是单调递减，若

5、，则的取值范围是如何？（利用奇偶性求参数的值）9、（2004.上海理）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式x的解是.（利用图像解题）10、已知函数，若为奇函数，则________。（利用定义解题）函数的周期性与对称性◆函数的轴对称定理1：函数满足，则函数的图象关于直线对称.推论1：函数满足，则函数的图象关于直线对称.推论2：函数满足，则函数的图象关于直线（y轴）对称.◆函数的周期性定理2：函数对于定义域中的任意,都有，则是以为周期的周期函数；推论1：函数对于定义域中的任意,都有，则是以（a－b）为周期的周期函数；推论

6、2：下列条件都是以2T为周期的周期函数：1、；2、；3、；4、；5、；6、．◆函数的点对称-5-定理3：函数满足，则函数的图象关于点对称.推论1：函数满足，则函数的图象关于点对称.推论2：函数满足，则函数的图象关于原点对称.（总结：同号看周期，异号看对称）针对性练习：1、设函数的定义域为R，且满足，则图象关于________对称。2、设函数的定义域为R，且满足，则图象关于________对称。3、设函数的定义域为R，且满足，则图象关于______对称,图象关于__________对称。4、已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（）A．B．C．D．5、已知定

7、义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则()A.B.C.D.6、设是定义在上以6为周期的函数，在内单调递减，且的图像关于直线对称，则下面正确的结论是（）A.B.C.D.-5-