高等数学教学过程中融入数学实例的教学实践

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1、高等数学教学过程中融入数学实例的教学实践　　　　【摘要】文章尝试运用高等数学中的基础理论讨论几个生物医学数学实例，激发学生用所学数学知识去解决实际问题的兴趣，以此提高教学效果，培养学生的创新精神和创新能力、提高学生的科研素质。　　【关键词】高等数学数学模型数学实例　　【基金项目】2011年广州医科大学教育科学规划课题，项目编号L129008；中华医学会2012年度医学教育研究课题，项目编号2012-KY-20。　　【中图分类号】G424【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2014）05-0148-02　　

2、针对医学院校设置的专业情况，改进和更新数学课程的教学内容，充分利用课内、课外时间介绍数学模型以及数学建模的思想和方法，将数学建模的知识穿插到相应章节中，选择合适的数学实例提出问题，引导学生以小组协作的方式分析问题和解决问题，培养学生的学习兴趣，打消学生“学习高等数学不能解决实际问题”的想法，将数学与生物医学能有机地结合起来，激发学生用所学数学知识去解决实际问题的兴趣，以适应现代生物医学飞速发展的需要，从而进一步培养学生的创新精神和创新能力、提高学生的科研素质，促进团结协作精神。本文尝试运用高等数学中的基础理论讨论几个

3、生物医学数学实例，以此提高学生学习高等数学的兴趣和教学效果。在授课时可结合课时的多少，精选相关的模型进行介绍。6　　1.Logistic人口增长模型[1]　　多数数学建模问题中都离不开微分方程，如简谐振动问题、种群增长问题、铁轨弯道处缓和曲线等。1838年，荷兰生物数学家Verhulst给出Logistic模型，也叫阻滞增长模型，它在许多领域中有着广泛的应用，如树木生长规律、人口增长规律、新商品的销售规律等，都可以用该方程来描述。logistic用途极为广泛，logistic已经成了流行病学和医学中最常用的分析方法，

4、主要常用的情形是探索某疾病的危险因素，依此预测某疾病发生的概率。在讲授微分方程的内容给学生后，可以介绍人口增长模型。　　Logistic人口增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型（malthus模型）的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在人口增长率r随着人口数量x的增加而下降。若将r表示为x的函数，则它应是减函数。于是有：　　■=r(x)x，x(0)=x0(1)　　对r(x)的一个最简单的假定是，设r(x)为x的线性函数，即:　　r(x)=r-sx(r>0,s>0)(2)　　

5、设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量为xm，当xm=x时人口不再增长，即增长率r(xm)=0，代入（2）式得s=■，于是（2）式为　　r(x)=r(1-■)(3)　　将（3）代入方程（1）得：　　■=rx(1-■)(4)　　x(0)=x06　　上述方程为可分离变量方程，解方程（4）可得：　　x(t)=■(5)　　介绍模型后，再结合我国的历史人口数据或世界历史人口数据并运用MATLAB软件进行实践（对历史数据进行检验和对未来人口进行预测），可加深学生对数学知识的应用的印象，让学生体会到数学知识的实用性。例如，据生

6、物学家估计r=0.029，我们根据1961年世界人口总数为30.60亿及1990年的世界人口为52.77亿，可以算得xm=117.12亿。然后用MATLAB画图对上述模型进行检验，可以看出，(5)式能较好地描述世界人口总数随时间变化的规律，由此可以预测2020年世界人口总数为77.52亿。[2]　　随着社会的进步和科学技术的发展，如果人类可以改善生存环境，自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量就会发生变化，上述模型也会变得不能够正确地反映世界人口的变化规律，事实上，反映实际问题的数学模型大部分是很复杂的，不容易甚至

7、不可能得到精确解，而从实际应用的角度出发，在数学建模过程中则要对实际问题进行合理的简化，分清主次。　　根据医学院校开设的不同专业，在微分方程这里可选择不同的数学模型进行介绍，例如临床医学专业可2介绍细菌的繁殖、传染病模型、药物动力学模型、肿瘤生长模型、种群增长问题等，生物医学工程专业可介绍简谐振动问题、降落伞的运动规律，通过一些精选的数学建模问题进一步阐明数学的实用性。　　2.染料稀释法确定心输出量　　6考虑到医学院校大部分专业开设的高数课程学时较少，对数学模型的介绍也可选择一些较简短的例子，只要能起到促进学生主动学

8、习的作用以及提高学习兴趣即可。例如在介绍了定积分内容后，可介绍染料稀释法确定心输出量的方法原理[3]。　　心输出量是指每分钟心脏泵出的血量，在生理学实验中常用染料稀释法来测定。把一定量的染料注入静脉，染料将随血液循环通过心脏到达肺部，再返回心脏而进入动脉系统。　　假定在时刻t=0时注入5mg的染料，自染料注入后便开始在外周动脉中连续30秒监测血