浅谈中学数学“数系知识的形成和发展过程”

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1、浅谈中学数学“数系知识的形成和发展过程”　　【摘要】数是最古老的数学概念之一。在长达数千年的漫长岁月中，人们对数的认识得到了不断的深化。作为一名一线的基层数学教师，我对数系的扩充及其基本理论，特别是数系知识的形成和发展过程做了深入的研究，以下是我的几点理解和认识。　　【关键词】数系扩张；数系基本理论；复数系　　1.“数系的扩充与复数的引入”的思考背景　　2003年4月，由中华人民共和国教育部制定的《普通高中数学课程标准（实验稿）》由人民教育出版社正式出版、发行。新《标准》中将高中数学课程分为必修课与选修课两类。必修课程由5个模块组成；选修系列有四个系列，其中系列1、系列2由若干个模

2、块组成，系列3、系列4由若干个专题组成；每个模块2学分（36学时），每个专题1学分（18学时），每2个专题可组成1个模块。选修课程内容本着“满足学生的兴趣和对未来发展的需求，为学生进一步学习、获得较高数学素养奠定基础”的原则来确定，系列3和系列4则是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的，所涉及的内容反映了某些重要的数学思想，有助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识，有利于学生终身的发展，扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认知。　　“数系的扩充与复数的引入”5同时最为高中数学新课程系列1和系列2的内容之一，其必要性不言而喻。目前

3、全国已有部分省（区）相继进入了课程试验，但由于在试验阶段，关于此部分内容可供参考的教学资料不多，甚至具体课程内容的呈现目前也没有可以参考的教材。于是，对这部分课程内容的设置及教学进行研究有其重要的意义。　　2.研究的主要内容　　首先对数系扩充的历史过程进行综述，其次对数系的基本理论教学概述，再次对复数系进一步扩充进行研究，使《数系的扩充与复数的引入》专题所涉及内容的广度加大，深度加深。最后对新课标下《数系的扩充与复数的引入》专题的教学提供一些建议。　　3.研究的方法及意义　　作为一名老教师，我深知，要给学生一滴水，教师必须要有一桶水。只有不断提高自己的专业水平，扎实专业功底，才能以

4、不变应万变。具体说，只有通过不断的学习和深刻的领悟，才能更好地适应将来新课程中创造性教学的要求。在本文中我主要采用文献研究法、理论探讨法对这部分内容谈几点认识。　　4.数系的扩充　　数，是数学的最基本的概念，对数的研究始终是数学的基本内容。人们对数的认识，可以追溯到五千年以前的人类早期，在人类对数的认识和研究过程中，数的范围逐步扩大，数的内涵不断丰富，然而，对于数的系统作全面的、理论上的总结，还只是近一百多年的事。　　凡是学过数学得人，对数总以为是了解的，但细究一下，许多人又模糊起来，例如：“3+2=5”5，为什么？数的加法、乘法是怎样扩充到整数的？又是怎样扩充到有理数的？数的每次

5、扩充应遵守什么原则？复数能否进一步扩充？各种数有何共性和个性？为什么复数不能规定大小？等等。这些问题对于一般人来说，似乎无关大局，但对于中学数学教师来说，这是一定要弄明白的。　　5.数的两种扩充　　在科学发展史上，数的概念经历了漫长的演变和发展过程。数系的扩充有两种不同的体系，一种是数的自然扩充过程，如图1所示，即数系发展的自然的历史的体系，它反映了人类对数的认识的历史发展过程；另一种是数的逻辑扩充过程，如图2所示，即数系发展所经历的理论的、逻辑的体系，它是策墨罗冯.诺伊曼、皮亚诺、高斯等数学家构造的一种逻辑体系，其中综合反映了现代数学中许多思想方法。　　6.数系扩充的原则和方法　

6、　根据数扩充的体系不同，数系扩充的原则也不同。自然扩充的原则是：为了满足数的运算需要，为了使减法通行，把负整数和零加入到数的系列，使正整数扩充到整数；为了使除法通行，把分数加入到数的行列，使整数扩充到有理数；为了使开方等运算通行，把无理数加入到数的行列，使有理数扩充到实数；为了使诸如方程χ2+1=0有解，又把虚数单位等加入到数的行列，使实数扩充到复数。　　但是，数的这种自然扩充是自发的、局部的，甚至是偶然的。所以当一种新数出现后，往往在很长时间里不被人们理解和接受，甚至被当作怪物，这从“无理数”“虚数”5等名称上，也可以看出当时发明这些数的人们的矛盾心情。而且，自然扩充也不能将所有

7、的数扩充进来，例如大多数超越数至今尚未露过面。正因为如此，19世纪以前，整个数的理论体系还没有建立起来。直至19世纪初，从自然数到复数的理论基础，并未被认真考虑过。后来，由于数学严密性的需要以及公理化倾向的影响，促使人们开始认真研究整个数系的逻辑结构。从19世纪中叶起，经过皮亚诺、康托尔、戴德金、外尔斯特拉斯等数学家的努力，完成了建立整个数学系的逻辑工作。　　数的逻辑扩充原则是，从数学系统的观点出发，每次扩充时，原有数系作为新数系的子系统，具体地说，有以下三条：　　（