微积分专业学习入门

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2、微积分入门一.微商（导数）1.用来分析变化的工具2.斜率=dy/dx3.极限：一个值无限接近另一个值的状态。表示：lim(x→0)f(x)=b4.正向接近（+∞）与负向接近（-∞）。当从两侧接近的结果不同时，不存在极限5.极限的模式：lim(x→a)f(x)不存在（如lim(x→a)1/x)lim(x→a)f(x)存在，但不是f(a)(如lim(x→1)（x^2-3*x+2)/(x-1))lim(x→a)f(x)存在，是f(a).6.求导公式：lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h二．导函

3、数1对f(x)求导得到的导函数也是函数。f’(x)=lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h=lim(dx→0)dy/dx2.导数表示的两种方式:A.如上B.(莱布尼茨法）dy/dxdf(x)/dxF’’(x)=(d/dx)*(d/dx)*y3.求导基本公式：p=Cp’=0(p为常数）(px)’=p{f(x)+g(x)}’=f’(x)+g’(x)4.常用求导公式：（x^n)’=lim(h→0)((x+h)^n-x^n)/h=n*x^(n-1){f(x)*g(x)}’=f’(x)*g(x)+f(

4、x)*g’(x)y=sinxy’=cosx;y=cosxy’=-sinx④y=e^xy’=e^x;y=Lnxy’=1/x⑤{f(x)/g(x)}’=(f‘(x)*g(x)-f(x）*g’(x))/g^2(x)5.y=f(x)的一阶微商f’(x)=dy/dx=lim(dx→0)(f(x+dx)-f(x))/dx二阶微商f’’(x)=df‘(x)/dxd^2*y/d*x^2n阶微商（x)=d(x)/dx=d^n*y/d*x^n=dx/dt=;=d/dt==d^2x/dt^2=三．求导规则和公式1.函数y

5、=(x)是y=f(x)的反函数，由x和y的互反关系，易得d(x)/dx=dy/df(y）=1/（df(y）/dy)=1/f‘(y)2.如果y=f(u),u=g(x），则复合函数y=f(g(x))的导数为dy/dx=(dy/du)*(du/dx)=f‘(u)*g’(x)3.如果y与x的函数关系由参数方程y=y(t),x=x(t)给出，则有：dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=/4.对于两个函数u(x),v(x)的和与差的导数，则由d(u+&-v)=du+&-dv得的d[u(x)+&-v(x)]

6、/dx=du(x)/d(x)+&-dv(x)/d(x)5.对于两个函数u(x),v(x)的积的导数，则由d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu得d[u(x)v(x)]/dx=u(x)dv(x)/dx+v(x)/dx=u(x)v‘(x)+v(x)u‘(x)四．导函数的基本性质1.[af(x)]‘=af‘(x)2.[f(x)+g(x)]’=f‘(x)+g’(x)1&2[af(x)+bg(x)]’=af‘(x)+bg‘(x)(a,b为常数）3.[f(x)*g(x)]‘=f‘(x)*g(

7、x)+f(x)*g’(x)

8、函数积求导的方法推导：[f(x)*g(x)]‘=f‘(x)*g(x)+f(x)*g’(x)推导：[f(x)*g(x)]‘=lim(h→0)[{f(x+h)g(x+h)}-{f(x)g(x)}]/h=lim(h→0)[{f(x+h)-f(x)}*g(x+h)+f(x)*{g(x+h)-g(x)}]/h=f‘(x)*g(x)+f(x)*g’(x)4.[(x+b)^n]’=n(x+b)^(n-1)5.[(ax+b)^n]’=an(ax+b)^(n-1)五.二项式定理（展开(x+

9、h)^n)1.(x+h)^n=+h+++∆.nCk表示“从n个数中挑选k个数的组合数”（有几种组合方式）如nC1=n.2.(x+h)^1=x+h→11(x+h)^2=x^2+2xh+h^2→121(x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3→1331(x+h)^4=x^4+4x^3h+6x^2h^2+4xh^3+h^4→14641（系数）杨辉三角3.==1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+......==1+x+x^2+......系数函数的导数：（最初比）令o=0,得最末比（流数）导

10、数&反流数（1/+1）六．使用导数绘制图形例1：绘制y=2x^3+3x^2-12x+6的图像y’=6x^2+6x-12=0X1=-2→=26x2=1→=-1x...-2...1...f’(x)+0-0+f(x)↑26↓-1↑要点：求导找到极值点求极值点间的增减趋势

11、例1图例2：判断曲线凹凸的方法→求二次微分f’’(x)的正负下凸→切线斜率增大→f‘(x)为增函数→f‘’(x)>0上凸→切线斜率减小→f‘(x)为减函数→f‘’(x)<0凹凸性增减表（f(x)=x^3-3