大学微积分入门

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1、定积分第一节定积分的概念与性质abxyo实例1（求曲边梯形的面积）一、问题的提出abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）曲边梯形如图所示，曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为实例2（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割部分路程值某时刻的速度（2）求和（3）取极限路程的精确值二、定积分的定义定义被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和注意：定理1定理2三、

2、存在定理曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值四、定积分的几何意义几何意义：例1利用定义计算定积分解五、定积分的性质证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1证性质2补充：不论的相对位置如何,上式总成立.例若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3证性质4性质5解令于是可以直接作出答案性质5的推论：证（1）证说明：可积性是显然的.性质5的推论：（2）证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质6曲边梯形的面积夹在两个矩形之间解例2不计算定积分估计的大小证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（Th5.1定积分第一中值定理）积分中值公式使即积分中值公式的几何解释：Th5.2(推广的积分第一

3、中值定理）考察定积分记积分上限函数六、积分上限函数及其导数证由积分中值定理得计算下列导数补充证例1求解分析：这是型不定式，应用洛必达法则.定理2（原函数存在定理）定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.定理3（微积分基本公式）证七牛顿—莱布尼茨公式令令牛顿—莱布尼茨公式微积分基本公式表明：注意求定积分问题转化为求原函数的问题.例4求原式例5设,求.解解例6求解由图形可知则有1.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿–莱布尼茨公式定理八、换元公式证应用换元公式时应注意:（1）（2）例1计算例2计算例1计算解凑微分是第一类

4、换元积分法，特点是不要明显地换元，也就不要更换积分的上下限。例2计算解原式例3计算解三角代换和根式代换例4计算解令原式明显换元证奇函数例6计算解原式偶函数单位圆的面积总结：1、定积分公式—2、定积分计算方法（直接代入，凑微分，根式代换，三角代换）3、根式和三角代换为明显的代换，所以换元要换上下限4、介绍了积分上限函数5、积分上限函数是原函数6、计算上限函数的导数证（1）设（2）由此计算设定积分的分部积分公式推导九、分部积分公式例计算解例2计算解令则例3计算解例4计算例5计算解第四节广义积分一、无穷限的广义积分例1计算广义积分解简记为例1计算广义积分解证回顾曲边梯形求面积的问题第五节、定积

5、分应用abxyo1、几何上的应用面积abxyo面积元素一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及x轴所围曲则边梯形面积为A,右图所示图形，面积元素为曲边梯形的面积曲边梯形的面积c有时也会选y为积分变量解（1）作图（2）求出两曲线的交点（3）选为积分变量（4）代公式解两曲线的交点选为积分变量解题步骤：(2)求出交点；(3)选择合适的积分变量，确定积分区间，计算。(1)画出草图；例3.求椭圆解:利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式二、立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,

6、1.已知平行截面面积函数的立体体积例1.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.思考:可否选择y作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?提示:旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台旋转体的体积当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有2.旋转体的体积xyo旋转体的体积为例1.计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:利用

7、直角坐标方程则(利用对称性)例.与x轴围成的封闭图形绕直线y＝3旋转得的旋转体体积.(1994考研)解:利用对称性,故旋转体体积为在第一象限求曲线解