巧用数学工具解决动态电路问题

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1、巧用数学工具解决动态电路问题动态电路是电学中经常遇到的一种典型问题，也是近几年来高考的热点内容之一，该类题目考查了学生对闭合电路欧姆定律的理解，电路的结构分析、串并联电路的特点，还考查学生的数学分析能力和逻辑推理能力.一般的资料在对动态电路进行讨论时，往往定性的分析较多.但只是给出定性的结论会有一些不好的方面，一是会使学生误认为这些结论是无法证明的，二是不利于培养学生严密的物理思维.其实，我们完全可以列出电阻或电流的表达式，然后利用数学工具进行定量的讨论，这样就使问题的分析过程清晰明了，使学生不仅知其然，而且知其所以然，真正掌握分析动态电路的方法.在动

2、态电路的问题中，我们会经常遇到以下两种电路.•在图1中，R为定值电阻，滑动变阻器分为两部分，其中一部分R1与定值电阻R并联（以下简称为并联段），然后这部分并联电路再和滑动变阻器的另一部分R2串联（以下简称为串联段）.我们可称图1这个电路为分压电路.在图2中，Rl、R2是定值电阻，R是滑动变阻器，电路中有两个并联支路，其中一支为R1和滑动变阻器的上半部分串联（可简称为R上），另一支为R2和滑动变阻器的下半部分串联（可简称为R下）.我们可称图2这个电路为并联电路.在这两种电路中，电路的电阻、电流到底是如何变化的呢？一般的资料中会给出定性的结论.在图1所示的

3、分压电路中，总电阻的变化情况与并联段电阻的变化情况相反，与串联段电阻的变化情况相同.在图2所示的并联电路中，当并联的两支路电阻相等时，总电阻最大；并联的两支路电阻相差越大时，总电阻越小.但一般的资料中定量的讨论相对较少.下面，我们就针对一些典型的情况，通过数学工具来严密地来探讨电路中电阻和电流的变化情况.1对图1的分压电路中的电阻、电流的讨论例1如图3所示的电路中，电池组电动势为E、内电阻为「，当滑动变阻器的滑动触头P由a向b移动的过程中，则A.电流表的示数将增大B.电压表的示数将增大C.灯L的亮度将增加D.端电压将增大分析与解这是个典型的分压电路，当

4、滑动变阻器的滑动触头P由a向b移动的过程中，并联段的电阻增大，串联段的阻值减小，根据定性的结论：总电阻的变化情况与并联段电阻的变化情况相反，与串联段电阻的变化情况相同，总电阻的变化情况减小.其实我们可以用数学工具写出外电阻的表达式，电阻的变化情况就一目了然了.设滑动变阻器的总阻值为R，灯泡的电阻为RL，滑动变阻器与灯泡并联的这一段的阻值为Rx，则电路的外电阻R外=(^-1^<+1^<1^1_1^<+1^1_=[^-(^2*1^<+1^1_=[^-111^<+1^1_1^2，由上式可以看出，当Rx增大时，R外减小.所以题目中当滑动变阻器的滑动触头P由a

5、向b移动的过程中，Rx增大，R外减小，所以路端电压减小，总电流增大，所以选项A正确，选项D错误.对并联部分来说，电流变大，电阻也变大，所以并联部分的电压也变大，所以灯L的亮度也增加，所以选项C正确.对滑动变阻器的右边一段，由于路端电压减小，而并联部分的电压增大，所以其两端的电压减小，故选项B错误.本题答案为A、C.例2电路中R0为定值电阻，R为滑动变阻器，总阻值为R.当在电路两端加上恒定电压U(图4)，移动R的触片，可以改变电流表的示数，则电流表示数变化的范围是多少？分析与解这也是个典型的分压电路，现在需要求解的这个分压电路中电流的情况.设滑动变阻器触

6、头左边的电阻为Rx，则所求电流l=URORxRO+Rx+R-Rx?RORO+Rx=UR0R0Rx+RR0-R0Rx+RRx-R2x=UR0-R2x+RRx+RR0=URO-(Rx-R2)2+RRO+R2r,由上式可以看出，当Rx=R2时，I最小.lmin=UR0RR0+R24=4UR04RR0+R2(A).当滑动头置于左端或右端时，电流最大，lmax=UR(A).所以电流表的示数范围为4UR04RR0+R2〜UR(A).例3在如图5所示电路中，滑动变阻器的总电阻Rl=30Q,R2=40R3=30Q,R4=15Q,电源电动势E=6V,内阻r=5当R1的滑

7、片P从下端B逐渐移到上端A的过程中，何时R3的电功率最小.分析与解R3为定值电阻，当R3的电流最小时，R3的功率最小.我们可以用数学工具讨论R3的电流13.设滑动变阻器下端的阻值为Rx.则通过R3的电流13二E(R3+RX)R2R3+Rx+R2+Rl-Rx+R4+r?R2R3+Rx+R2=ER2-R2x+(Rl+R4+r-R3)Rx+(Rl+R4+r)(R3+R2)+R2R3=ER2-(Rx-Rl+R4+r-R32)2+(Rl+R4+r)(R3+R2)+R2R3+(Rl+R4+r-R3)24.由上式可以看出，当Rx=Rl+R4+r-R32=30+15+

8、5-302Q=10Q，13有最小值，此时R3的功率最小.2对图2并联电路中的电阻、电流的讨论例