平方度量意义下函数逼近问题的研究

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1、摘要最小二乘法是从误差拟合角度对回归模型进行参数估计或系统辨识,并在参数估计、系统辨识以及预测、预报等众多领域屮得到极为广泛的应用.然而，最小二乘法因其抽象、难懂常常不能被准确理解.本文探讨了最小二乘法的基本原理及其各种变形的拟合方法，其中包括:一元线性最小二乘法拟合、多元线性拟合、多项式拟合、非线性拟合，并且讨论了连续函数的最佳平方逼近，在此基础上，介绍了切比雪夫、勒让德、拉盖尔、埃尔米特四种正交多项式以及三角多项式的逼近问题。关键词：最小二乘法线性拟合曲线拟合正交多项式AbstractLeastsquarewasusedtoestimateparametersandidentifysy

2、stemofregressionmodel，bythepointoferrorfitting.Andithaswidelyapplicationintheparametersestimate,systemidentification，prediction,forecastingandotherfields.However，theleastsquaremethodbecauseofitsabstractanddifficult，oftencannotbeaccuratelyunderstanding.Theleastsquaremethod’sprincipleandthevariouski

3、ndsoffittingmethodssuchasthelinearleastsquarefitting,multiplelinearfitting,polynomialfittinganonlinearfittingaredealtwith.Anddiscussedsquareapproximationofcontinuousfunction,onthisbasis，introducedtheChebyshev,Legendre，Laguerre，Hermiteorthogonalpolynomialsandthefourtriangularpolynomialapproximation

4、.KeyWords：leastsquaremethod；linearfitting；squareapproximation目录«®IAbstractIIiI第1章引言1第2章最小二乘法32.1最小二乘法问题描述3第3章离散点的最小二乘曲线拟合73.1问题提法及拟合模型73.2线性模型的正规方程93.3基于正交基的线性模型113.4非线性模型举例13第4章连续函数的最佳平方逼近174.1问题提法及正规方程174.2利用多项式作平方逼近194.3利用正交函数组作平方逼近214.4几种常见的正交多项式21第5章结论25参考文献28麵29第1章引言最小二乘方法最早是由高斯提出的，他用这种方法解决了

5、天文学方而的问题，特别是确定了某些行星和彗星的天体轨迹。这类天体的椭岡轨迹由5个参数确定，原则上，只要对它的位置做5次测量就足以确定它的整个轨迹。但由于存在测量误差，由5次测量所确定的运行轨迹极不可靠，相反，要进行多次测量，用最小二乘法消除测量误差，得到有关轨迹参数的更精确的值。最小二乘法近似将几十次甚至上百次的观察所产生的高维空间问题降到了椭圆轨迹模型的五维参数空间。假如想了解某个地方的月降雨量，一个月的观测当然不够，任何一个月都可能是异常晴朗或异常多雨。和反，人们应该研究儿个刀或至少一年甚至十年，并将所有数据加以平均。平均的结果对任何一个具体的川份并不一定能完全符合，但凭直觉，这个结果

6、所给我们的标准降雨景阁形将比只研究一个月所得到的结果要准确得多。这个原理在观察和实验科学领域是通用的。它是通过多次测量消除测量误差及随机波动。木吒的格言“量两次，再下手”也正是这个常识的一个例子。在降雨的例子中，我们用一个数来代表或一定程度地近似整个测定数裾的效果。更一般的，鉴于各种理论和实际的原W，常用低维来近似说明高维的对象。在下面几种工作中都可以采用这个方法，象消除误差或忽略无关细节，从干扰数据中提取信号或找出趋势，将人景数据降低到可管理的数景或用简单的近似来代替复杂函数。我们并不期望这个近似值多么精确，事实上，在许多吋候它也不用很精确。但尽管如此，我们还是希望它能保持对原始数据的和

7、似之处。在线性代数领域，我们希槊将一个高维空间的向量投影到低维子空间，完成这个工作的最普遍和最便于计算的方法之一就是最小二乘法。在正确选择模型的前提卜，用绝对误差最小二乘法拟合观测点的因变量量级相差较大的资料，往往使各点的相对估计误差分布不均匀（表现为大观测值的相对误差较小，小的则很大），若采用相对误差最小二乘法来拟合,可在一定程度上改善这种不R效果，并提高了拟合结果的可靠性。用于估计直线或曲线模型参数的相对误差最小二乘