全等三角形证明方法

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1、全等三角形证明一、三角形全等的判定：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。二、全等三角形的性质：①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。②全等三角形的周长、面积相等。③全等三角形的对应边上的高对应相等。④全等三角形的对应角的角平分线相等。⑤全等三角形的对应边上的中线相等。三、找全等三角形的方

2、法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。缺个角的条件：1、公共角2、对顶角3、两全等三角形的对应角相等4、等腰三角形5、同角或等角的补角（余角）6、等角加（减）等角7、平行线8、等于同一角的两个角相等9缺条边的条件：1、公共边2、中点3、等量和4、等量差5、角平分线性质6、等腰三角形7、

3、等面积法8、线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等9、两全等三角形的对应边相等10、等于同一线段的两线段相等9四、构造辅助线的常用方法：1、关于角平分线的辅助线当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。关于角平分线常用的辅助线方法：（1）截取构全等如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例：如上右图所示，AB/

4、/CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。提示：在BC上取一点F使得BF=BA，连结EF。（2）角分线上点向角两边作垂线构全等利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。如下左图所示，过∠AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线，垂足为E、F，连接DE、DF。则有：DE=DF，△OED≌△OFD。例：如上右图所示，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180 9（3）：作角平分线的垂线构造等腰三角形。如下左图所示，从角的一边OB上的一点E作角平分线OC的垂线EF，使

5、之与角的另一边OA相交，则截得一个等腰三角形（△OEF），垂足为底边上的中点D，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，从而得到一个等腰三角形，可总结为：“延分垂，等腰归”。例1：如上右图所示，已知∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：DH=12（AB-AC）提示：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。例2：已知，如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90o，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E,求证

6、：BD=2CE提示：延长CE交BA的延长线于点F。（4）作平行线构造等腰三角形作平行线构造等腰三角形分为以下两种情况：①如下左图所示，过角平分线OC上的一点E作角的一边OA的平行线DE，从而构造等腰三角形ODE。②如下右图所示，通过角一边OB上的点D作角平分线OC的平行线DH与另外一边AO的反向延长线相交于点H，从而构造等腰三角形ODH。92、由线段和差想到的辅助线（1）遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：①截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段

7、，然后证明新线段等于长线段。截长补短法作辅助线。在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝2∠B，求证：AB＝AC＋CD。（2）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。例1：已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.（法1）证明：将DE两边延长分别交AB、AC于M、N，在△AMN中，

8、AM＋AN＞MD＋DE＋NE;（1）在△BDM中，MB＋MD＞BD；（2）在△CEN中，CN＋