输油管布置的优化模型(全国奖)

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1、输油管布置的优化模型摘要：本文主要通过建立成本与管线长度的函数关系，利用多元微分求最值的方法求解，采用选址的模型对其位置进行最优选择，解决铺设管线成本费用最低的问题，最终设计出一个合理的路线。在模型分析时，作者总体思路：针对两油厂与火车站的具体情形，从两油厂共用管线和不共用管线的角度进行讨论，通过建立直角坐标系，得出成本、管线长度、附加费的函数关系。在建立模型时，作者首先考虑共用管线的情况，其中只需要考虑共管线处的连接点，并利用数学方法找出其点。其次，考虑非共管线的情况，这样就可以将问题简单化。最后，根据对模型和数据的分析以及一些现实中存在的一些实际问题进行

2、联系，对如何建立两家炼油厂和一个车站提出了一些有较好的建议。关键词：共管非共管最短路径附加费投资量13一、问题重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂和建一个车站。针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的不同情形，在方案设计中，若有共用管线，我们应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置如图所示，其中厂位于郊区（图中的区域），厂位于城区（图中的区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为，，，。若管线的铺设费用均为每千米7.2万元，铺设在城区的管线还需

3、增加拆迁和工程补偿等附加费用，需进行估计，聘请三家公司，结果如下表所示：工程咨询公司公司一公司二公司三附加费用（万元/千米）212420为进一步节省费用，根据炼油厂的生产能力，这时的管线铺设费用将分别降为输送厂成品油的每千米万元，输送厂成品油的每千米万元，共用管线费用为每千米万元，拆迁等附加费用不变。找出最佳布置方案及相应的费用。二、问题分析本题要解决的主要问题就是怎样才能是投资商投资尽量的少，也要圆满的完成任务。然而决定这一问题的关键点有两个，一是确定它们各自的位置，尽可能使它们之间的距离最优，二是最大化的使其费用最优，确定它们的位置。13对于它们选址的确

4、定，需考虑共管线与非共管线的两种路径，通过城区，出郊区时的交点及两家炼油厂共管线处交点的位置的情况。第一问只需考虑共线与不共线时所需管线最短的情况，非共管线时，要使所需管线最短，可通过建立直角坐标系，设车站的位置为，也就是两家炼油厂直接到达车站处的位置。根据两点间距离公式建立方程，便很容易求得最优车站的位置；共管线时，只需多考虑两家炼油厂之间管线交接处坐标。第二问中，如题中图中可知，厂位于郊区，厂位于城区，可以以点为原点，铁路线为轴，CA为轴建立直角坐标系，所以可知道，c为15千米（也就是说属于郊区），l为20千米（也就是说郊区之后15千米处属于城郊分隔线）

5、，，，，；因为管线的铺设费用均为每千米万元，并且铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，我们需通过对公司资质的查阅及通过加权平均法等，求出我们所需要的附加费用的平均费用。再通过建立方程组带入相应数据可得出最优方案。第三问相对于第二题就较简单，只是需要对其输送费用不同进行求解，这样就可以直接建立方程带入数据，从而算出管线最佳布置方案以及相应的费用，以致得到最优方案。三、模型假设1.管线的连接处损失可忽略不计。2.地形平坦呈理想状态。3.铺设费用包括材料费和人工费等。4.问题二中，共管线与非共管线铺设费用均相等。5.问题二中，点为直角坐标系的原点，火车

6、路线为轴，郊区为轴。四、符号说明：代表其中一家炼油厂，坐标设为；：代表另一家炼油厂，其坐标设为；：代表火车站，设其坐标为；：代表两炼油厂管线交汇点，设其坐标为：城郊区分界线上的一个点，设其坐标为；13：代表铺设管线的总费用；：不共用管线单位（千米）费用；：共用管线单位（千米）费用；：表示附加费用；：表示在此过程中所需管线的长度。五．模型的建立与求解5.1建立两家油厂与一个车站的数学模型因为要建立两家炼油厂和一个车站，然而两家炼油厂到铁路的距离和两家炼油厂间的距离有不同的情形，因而要考虑共管与非共管的两种情形建立模型。以火车路线为轴，以垂直于火车路线为轴，建立

7、直角坐标系，设厂坐标为，厂坐标为，车站坐标为，共管线处点的坐标为，假设总费用为万元，不共用管线费用为每千米万元，共用管线费用为万元。5.1.1不共用管线的情形：13如不共用线管图一所示，总路线为，即目标函数为：式定义域为，这里目标函数在区间上连续且可导。其导数为：令，可得目标函数在区间上唯一驻点：因为目标函数在区间上可导，驻点唯一，从实际意义上看目标函数的最小值确实在区间上，所以唯一的驻点就是目标函数的最小值点。由不共用管线费用为每千米万元，则最小总费用为：把代入式中得：13所以，把式带入可得不共用管线所需最小总费用为：5.1.2共用管线的情形：如共用管线图

8、二所示，总路线为即总管线：如图有：，，即：对目标函数