大学生数学竞赛试题集

《大学生数学竞赛试题集》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、大学生数学竞赛培训暑期作业极限与导数ggq5、(第三届预赛第一(2)题，2011)=cos—cos—••-cos一，求limtz.,;A—>-oo求lim■v^°/(x)sin3u提示与答案：一、极限，其中w是曲线灭=/(X)上点处的切线在X轴上的截距.1、用第二个重要极限，lim(1.2x

2、,nxee+eHhe、—w+l*22、limx"-a3、用ln(l+x)的麦克劳林展开，lime=e,其中A7是给定的正整数:一、极限1、(第一届预赛第二题，2009)limx—>02、(第二届预赛第一(1

3、)题，2010)设x,z=(1+6/)(1+672)---(1+6?)，其中“<1，求limx"3、(第二届预赛第一(2)题，2010)求lime-XZ1Y1+丄24、(第三届预赛第一(1)题，2011)lim(1+x)x-e2(1-ln(l+X))22Zr丄6、(第四/B预赛第一(1)题，2012)求极限lim(/7!p二、导数1、(第二届预赛第二题，2010)设函数/(X)在(-oo，+o。)上具有二阶导数，并且/"(x)〉0,limfx)=a>0,limfx)=^<0,且存在一点x0

4、,使得/(x0)<0.证明：方程/(x)=0在(-oo，+oo)恰有两个实根.2、(第三届预赛第三题，2011)设函数/(X)在［-1，1］上具有连续的三阶导数，且/(—1)=0，/(1)=1，.广(0)=0.求证：在(―1，1)内至少存在一点x0,使得/"’(Xo)=3.3、(第四届预赛第四题，2012)设函数/(x)二阶可导，且/"(x)〉0，/(0)二0,广(0)=04、拆成两个极限，iim(1+Y)'-d-ln(l+x))=0;5、人乘以sinlimxH=BOO"Q16、夹逼原理，=1.二

5、、导数1、(证存在性时)同函数的性质，零点定理，(证恰有两个时)反证法.2、麦克劳林公式，最值定理，介值定理.3、等价无穷小替换，麦克劳林展开.不定积分不定积分是导数(微分)的逆运算，但实践己经证明，前者的难度远远超过后者。原因是：(1)没有适用于一切初等函数的求不定积分的方法；(2)许多初等函数的原函数不是初等函数，(n为正整数)，还有e~x'dx,Jsin(x2>/x,J*cos(x2>/x等。我们有计算不定积分的两种基本方法(不是万能的)一一换元法和分部积分法，对一些特定类型的积分有专用的

6、方法(可参见本期金本清专栏)，这样的方法程式化，但可能不是最简单的。解决不定积分的基本思路是化繁为简，最终归结为基本公式，所以积分基本公式必须熟记。出现高数数学竞赛中的不定积分不仅需要上述两种基本方法，大部分还需要一些技巧，我们平时对这些技巧不太熟练。但参加竞赛就应该掌握下囬的不定积分的计算：一、考察不定积分的概念与性质1、iS/z(sin2x)=cos2x+tan2x(0

7、利用基本积分法求不定积分1、利用凑微分法(第一换元法)求不定积分⑴rcos2.vJ1+sinxcosx(2)dxsin2x+2cos2x(3)Jyj(x2+x)ex(x2+3x+l)exdx1arctan(5)f^-dxJ1+x2(4)J(xInx)2(Inx+)dx(6)cos2x-sinxcosx(l+cosxesinjdx(7)dx(x4+l)Vl+x42、利用第二换元积分法求不定积分(1)三角代换求下列积分xdx(X**+1)V—x~3(i+x2rdx(2x2+l)7x2+l(1)倒代

8、换(即令*=求下列积分tdxx2yja2+x2•(“>0)dxx(x7+2)dx(x+1)37(x2+2x)3、指数代换(令则办=1.4)Ina(1)2Xdx1+2'+4r4、利用分部积分法求不定积分(1)J(x2+l)e2vt/x(3)Jx2arccosxdx(5)Jexcosxdx5、建立下列不定积分的递推公式1(2)dxJVXXl+e2(2)J(x3+2x+5)cos2xdx(4)[x3(lnx)2dx2dx(2)I+a三、有理函数的积分1、求下列不定积分x+2tan"xdx(1)(4)

9、X2+4x+3dxdx(2)dxdxx(2+x10)四、简单无理函数积分11、rdxy/x+y/x五、三角有理式积分1、Isin5xcos6xdxx(x-l)2(3)(5)2、(x-1)(1+2x)(1+x2)2x3+13、100dxsinx1+sinxdxrx+sinxy4、dxJ1+cosx六、含有反三角函数的不定积分25、sin4xcos2xcos3xdx6、4xxcos2sin3%dx1、arctanxdx1+%2七、抽象函数的不定积分ir[/(x)f2(x)r(x)'Jt