大学生数学竞赛试题集

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1、大学生数学竞赛培训暑期作业极限与导数一、极限1、（第一届预赛第二题，2009），其中是给定的正整数；2、（第二届预赛第一（1）题，2010）设，其中，求；3、（第二届预赛第一（2）题，2010）求；4、（第三届预赛第一（1）题，2011）；5、（第三届预赛第一（2）题，2011），求；6、（第四届预赛第一（1）题，2012）求极限.二、导数1、（第二届预赛第二题，2010）设函数在上具有二阶导数，并且，，且存在一点，使得.证明：方程在恰有两个实根.2、（第三届预赛第三题，2011）设函数在上具有连续的三阶导数，且.求证：在内至少存在一点，使得.3、（第

2、四届预赛第四题，2012）设函数二阶可导，且，求，其中是曲线上点处的切线在轴上的截距.提示与答案：一、极限1、用第二个重要极限，；2、；3、用的麦克劳林展开，；4、拆成两个极限，；335、乘以，；6、夹逼原理，.二、导数1、（证存在性时）凹函数的性质，零点定理，（证恰有两个时）反证法.2、麦克劳林公式，最值定理，介值定理.3、等价无穷小替换，麦克劳林展开.不定积分不定积分是导数（微分）的逆运算，但实践已经证明，前者的难度远远超过后者。原因是：（1）没有适用于一切初等函数的求不定积分的方法；（2）许多初等函数的原函数不是初等函数，如（为正整数），还有等。

3、我们有计算不定积分的两种基本方法（不是万能的）——换元法和分部积分法，对一些特定类型的积分有专用的方法（可参见本期金本清专栏），这样的方法程式化，但可能不是最简单的。解决不定积分的基本思路是化繁为简，最终归结为基本公式，所以积分基本公式必须熟记。出现高数数学竞赛中的不定积分不仅需要上述两种基本方法，大部分还需要一些技巧，我们平时对这些技巧不太熟练。但参加竞赛就应该掌握下面的不定积分的计算：一、考察不定积分的概念与性质1、设，求；2、设，求；3、已知，试求函数.二、利用基本积分法求不定积分1、利用凑微分法（第一换元法）求不定积分(1)（2）（3）（4）（

4、5）（6）（7）2、利用第二换元积分法求不定积分(1)三角代换求下列积分①②③(2)倒代换（即令）求下列积分①②③333、指数代换（令则）（1）（2）4、利用分部积分法求不定积分（1）（2）（3）（4）（5）5、建立下列不定积分的递推公式（1）（2）三、有理函数的积分1、求下列不定积分（1）（2）（3）（4）（5）（6）四、简单无理函数积分1、2、五、三角有理式积分1、2、3、4、5、6、六、含有反三角函数的不定积分1、2、七、抽象函数的不定积分1、2、八、分段函数的不定积分1、设求.2、定积分比较定积分大小1、比较定积分和的大小331、比较定积分和的

5、大小利用积分估值定理解题一、估值问题1、试估计定积分的值；2、试估计定积分的值二、不等式证明1、证明不等式：；2、证明不等式：三、求极限1、2、关于积分上限函数及牛顿-莱布尼兹公式问题1、求下列导数：（1）；（2）由方程确定的隐函数的导数2、设在上连续且满足，求3、设为关于的连续函数，且满足方程，求及常数.4、求下列极限：（1）（2）5、设是连续函数，且，求.6、已知且，求及定积分的计算一、分段函数的定积分1、设求；2、求定积分二、被积函数带有绝对值符号的积分1、求下列定积分：（1）（2）2、求定积分的值三、对称区间上的积分331、设在上连续，计算2、

6、设在上连续，且对任何有，计算3、计算积分4、设在区间上连续，为偶函数，且满足条件（为常数）.（1）证明：(2)利用（1）的结论计算定积分四、换元积分法1、求下列定积分：（1）（2）（3）五、分部积分1、设有一个原函数为，求2、3、积分等式的证明一、换元法（适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件）1、若函数连续，证明：（1）（2）（3）2、设连续，求证，并计算3、设连续，且关于对称，，z证明：（提示：关于对称，即）二、分部积分法（适用于被积函数中含有或变上限积分的命题）例：设连续，，证明：三、构造辅助函数法（适用于证明在积分限中至少存在一点或使等式成立

7、的命题）解题思路：（1）将或改成，移项使等式一端为零，则另一端即为所作的辅助函数或。33（2）验证满足介值定理或微分中值定理的条件。（3）由介值定理或微分中值定理，即可证得命题。1、设在上连续，证明：至少存在一点，使得：2、设在上连续，在内可导，.求证：在内至少存在一点使四、积分不等式的证明常用的证明积分不等式的定理有：定积分的比较定理，估值定理，函数的单调性，积分与微分中值定理。1、设在上连续，且严格递增，证明：2、设在上连续且单调减少，，求证：3、设在上可导，且.证明：广义积分1、求下列广义积分（1）（2）（3）（4）2、证明：无穷积分当时收敛，当

8、时发散.3、当时，是以为瑕点的瑕积分，证明它在时收敛，在时发散.多元微分学1．设函数，求分析本