大学生数学竞赛辅导试题

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1、一、极限1.用极限存在的充要条件求极限+1,x<01,x=0，求lim/(x)]xtO1+xsin—,x>0xi'东习•设/(兀)=—，求lim/*(兀)±xtO1+4*2•先求和，再求极限例2踏(兀)=ax(a>0<工1),求limgln[/(1)/(2).•/(«)]/

2、—>8fl3•先求积，再求极限例3求lim(1+兀)(1+/)(i+十)…(]+兀2”)(

3、兀J/2T84•幕指函数形式的极限例4设/(兀)具有连续的二阶导数,lim=0,厂(0)=4,求lim[l+上血卩xtOxxtOx5•含有积分形式的极限例5设/(工)连续，在点工=0可

4、导，/(0)=0,门0)=3,+j2+z2)dxdydz.6•分段函数的连续性例6设/(兀)连续,卩(兀)=J：.f(竝)力,且lim』也=A,求卩'(工),XT0x并讨论卩‘(兀)在工=0处的连续性求lim-^-[7w2-l2"Too/

5、37•利用定积分求极限+2y)n2-22+••・+(〃-Dyln^n-D2]二、连续和导数1.含有极限形式的函数讨论连续性ln(en+Xfl例8已知：/(x)=lim(x>0)n—>OOfl求⑴/(兀);(2)/(兀)在(0,+8)内的连续性2•变限积分求导例9当兀TO时，F(x)=^x2-t2)ft)dt

6、的导数与，是等价无穷小，求/"(0)练习:£/dr=FinV^+x2dt(x>0),求空dx三、微分中值定理1•证明含有多个卿关系式或严)©=k(kH0)设/(兀)在［%］上可导,且4,〃同号，证明：至少存在一点例使得妙⑹一嘗)=/©_于©a-b2•证明有两个中值$〃的关系式设01)证明：至少存在一点§G(0,1),使得

7、厂©=(1-厂)/©练习：设/(兀)在⑷刃上连续，在S#)内可导，且/W@)>o,・/W(字)Vo证明：至少有一点fW(a,叭使得厂©=/(§)2•用泰勒公式证明例13设/(兀)在［0,1］上具有二阶导数，且,

8、/(x)$«,

9、fx)$b,a，b>0,Vce(0,1),⑴写lH/(x)在工=c处拉氏形式的一阶泰勒公式(2)证明：

10、.f'(c)$2a+£练习⑴役/•(*)在［-a,a］(a>0)上具有二阶连续导数J(0)=0证明：Btje［-a9a］,使得厂(“)=3鳥/(兀)必2•设/(兀)在［0,1］上具有三阶连续导数,/(0)=0,/(I)

11、=2,厂百)=0证明:北w(0,l),使得

12、广(")224例I4yoz面上的平面曲线段y=/⑵(00为周期的

13、连续函数9fff(x)dx=A求lim也如XT2X五、有关定积分和不等式的题目例18役/•⑴“,且21时有厂(兀)=—x2+/2(x)证明：lim/(x)存在，且极限值小于1+£XT243例19设/(兀)在［0,1］上连续，在(0,1)内/(兀)>0,且/⑴=f(x)+-ax2乙y=/(x)与兀==0所围成的图形S的面积为2，求丿=/(工)，并求a为何值'图形S绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小例20设〃为自然数，求Zw=gsin(2n+1)Xrfxsm兀例21设厂(工)=arcsin(x一及/*(())=0,求并f(x)dx设/(工)在［0,2

14、龙止具有一阶连续导数,厂(兀)>0,例222求证：Ifo(x)sinnxdx1^-［/(2^)-/(0)］n六、有关二重积分的题目例23设/(工)在［0,1］上具有连续导数,/(0)=1,且JJfx+y)dxdy=f/f(t)dxdyDD七、有关反常积分的题目例24设s>0,求化=^e~sxxndx(n=1,2,)八、有关数列收敛的题目例25已知兀”>0,且丄心+1+Inxn

15、的题目例27设/(兀)=Saksinfcc,S

16、/(x)

17、<

18、sinx,k=①为常数，证明：lkak<例28设/（兀）在工=0的某邻