10.非线性系统动力学

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1、ChangeVieChangeVieF-XwF-XwDeDerrPPwClicktobuyNOW!wClicktobuyNOW!wmwmwowo.dock.c.dock.cu-tracu-trac麻省理工学院电气工程与计算机科学系6.243j（2003秋季）非线性系统动力学A.Megretski讲座1：输入/输出和状态空间模型1本章介绍非线性动力系统建模的一些基本定义和简单例子。1.1动态模型描述一个系统，最普遍的方法是采用动态输入/输出模型（尽管不一定是最方便的方法）。1.1.1什么是信号？在这一章中，信号是指局部可微的函数z:R7!Rk，其中R表示非

2、++负实数。局部可微"的概念来自于Lebesque测度原理，是指在有限区间内的微分有意义。广义函数，例如±(t)，就不是局部可微的。在信号函数中，一般将自变量t2R+看作时间"（通常是这样）。例1.1函数z=z(¢)由(t¡0:9sgn(cos(1=t))t>0;z(t)=0t=0定义，当(1=tfort>0;z(t)=0fort=0时是一个有效信号，当z(t)=±_(t)时不是。上面的定义形式包含了所谓的连续时间（CT）信号。离散时间（DT）信号可以作为特殊CT信号由上面的形式表示。准确地说，如果信号z:R7!Rk+在每个时间间隔[k;k+1)(k

3、=0;1;2;:::)内都是常数，那么它就是一个DT信号。1.1.2什么是系统？系统是产生信号（称为输出信号）的，通常依赖于其它信号（输入）和一些参数（初始条件）。在大部分应用中，系统的数学模型由行为集决定（通常绝对如此）。对于自治系统（也就是没有输入的系统），行为集B=fzg，其中信号z:R7!Rk（对于所有B中的信号，k必须是一致的）。对于输入为+v、输出为w的系统，行为集包含所有的输入/输出对，即z=(v(¢);w(¢))。这12003年9月3日版1ChangeVieChangeVieF-XwF-XwDeDerrPPwClicktobuyNOW!w

4、ClicktobuyNOW!wmwmwowo.dock.c.dock.cu-tracu-trac两种定义并没有实质性差别，可以认为信号对z=(v(¢);w(¢))就是包含依次排列的输入和输出的单向量信号z(t)=[(v(t);w(t)]。在这种定义中，一个确定的输入v(¢)可以出现在(v;w)2B的很多输入/输出对中，也可以不出现在任何一对中，所以行为集不一定能把系统输出定义为任意一个系统输入的函数。典型例子就是唯一确定一个输出，除了要知道输入外，还需要知道一些其它信息（初始条件和不确定参数）。例1.2由包含所有标量信号对(v;w)的行为集确定常见的理想

5、积分系统（传递函数为G(s)=1=s）如下：Zt2w(t2)¡w(t1)=v(¿)d¿;8t1;t22[0;1]t1在这个例子中，只要知道v和w(0)，就可以唯一确定输出。在例1.1.2中，系统由一个积分方程描述。对于相同的系统，描述方法很多（例如传递函数和微分方程等）。1.1.3什么是线性/非线性系统？当一个系统的行为集满足叠加原理时，这个系统称为线性系统。也就是说，对于任何z1;z22B和c2R，有z1+Z22B和cz12B。除去一些没有意义的例子2，由关于v和w呈线性的方程定义的系统是线性系统。特殊地，例1.1.2涉及的理想积分系统是线性的。1.2

6、系统状态任意行为模型B=fz(¢)g都可以定义系统状态，认识到这一点是很重要的。1.2.1在t时刻，定义同一状态的两个信号给定时间t0，假设系统状态包含所有过去（tt0）行为的相关信息，我们得到以下定义。定义假设B是一个行为集，信号z1;z22B，如果信号(z1(t)fort·t0;z12(t)=z2(t)fort>t0和(z2(t)fort·t0;z21(t)=z1(t)fort>t0也属于行为集，那么我们称t0时刻，z1;z2可交换。定义假设B是一个行为集，信号z1;z2;z2B，如果t0时刻，z和z1交换与z和z2交换是一样的，

7、我们称z1;z2在B上定义了相同的状态。2例如由非线性方程(v(t)¡w(t))2=08t定义的（线性）系统2ChangeVieChangeVieF-XwF-XwDeDerrPPwClicktobuyNOW!wClicktobuyNOW!wmwmwowo.dock.c.dock.cu-tracu-trac定义假设B是一个行为集，X是一个任意集合，如果只要x(t;z1(¢))=x(t;z2(¢))，z1和z2在t时刻就定义B中的相同状态，那么我们称函数x:R£B7!X是系统B的一个状态。例1.3假设系统输入v和输出w是二进制信号，也就是取值集合为f0;1g

8、的DT信号。输入/输出关系为：仅当v(t)=1时，w(t)=1;当t1;t22Z