基本不等式 题型总结(经典,非常好,学生评价高)

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1、基本不等式一.基本不等式①公式：，常用②升级版：选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版二．考试题型【题型1】　基本不等式求最值求最值使用原则：一正二定三相等一正：指的是注意范围为正数。二定：指的是是定值为常数三相等：指的是取到最值时典型例题：例1.求的值域分析：范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理）解：得到5例2.求的值域解：（“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值），即例3.求的值域分析：的范围是，不能用基本不等式，当取到最小值时，的值是，但不在范围内解：令是对钩函数，利用图像可知：在上是单减函数，所以，（注：是将代入得到）注意：使用基本不等

2、式时，注意取到最值，有没有在范围内，如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。5例4．求的值域分析：先换元，令，其中解：总之：形如的函数，一般可通过换元法等价变形化为型函数，要注意t的取值范围；【失误与防范】1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．【题型2】　条件是或为定值，求最值（值域）

3、（简）例5．若且，则的最大值是________．解析：由于，则，所以，则的最大值为例6．已知为正实数，且满足，则的最大值为________．解析：∴，当且仅当即时，取得最大值.例7．已知，且，则的最小值为________．解析：，，当且仅当时，等号成立．总结：此种题型：和定积最大，积定和最小5【题型3】　条件是或为定值，求最值（范围）（难）方法：将整体代入例8.已知且，则的最小值是________________解析：所以最小值是例9.已知，，则的最小值是________．解析：则所以最小值是例10.已知，且求的最小值是____________解析：则从而最小值为95【题

4、型4】　已知与关系式，求取值范围例11.若正数满足，求及的取值范围．解析：把与看成两个未知数，先要用基本不等式消元解：⑴求的范围（需要消去：①孤立条件的②③将替换）①，②③（消结束，下面把看成整体，换元，求范围）令，则变成解得或（舍去），从而⑵求的范围（需要消去：①孤立条件的②③将替换），（消结束，下面把看成整体，换元，求范围）令则有，，，得到或（舍去）得到5