2004年数二试题解析

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1、2004年数学（二）试题评注一.填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.）（1）设,则的间断点为0.【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的,先用求极限的方法得出的表达式,再讨论的间断点.【详解】显然当时,;当时,,所以,因为故为的间断点.（2）设函数由参数方程确定,则曲线向上凸的取值范围为.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由定义的求出二阶导数,再由确定的取值范围.【详解】,,令.又单调增,在时,。(时，时，曲线凸.)（3）.【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布

2、尼兹公式可得所求的广义积分值.【详解1】.【详解2】.（4）设函数由方程确定,则.【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解.【详解1】在的两边分别对,求偏导,为的函数.,,从而,所以【详解2】令则,,,,从而【详解3】利用全微分公式,得即,从而（5）微分方程满足的特解为.【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.【详解1】原方程变形为,先求齐次方程的通解:积分得设为非齐次方程的通解,代入方程得从而,积分得,于是非齐次方程的通解为,

3、故所求通解为.【详解2】原方程变形为,由一阶线性方程通解公式得,从而所求的解为.（6）设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则.【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值.【详解1】,,,.【详解2】由,得二.选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）（7）把时的无穷小量,,排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是（A）（B）（C）（D）【分析】对与变限积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实

4、现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.【详解】,即.又,即.从而按要求排列的顺序为,故选（B）.（8）设,则（A）是的极值点,但不是曲线的拐点.（B）不是的极值点,但是曲线的拐点.（C）是的极值点,且是曲线的拐点.（D）不是的极值点,也不是曲线的拐点.【分析】求分段函数的极值点与拐点，按要求只需讨论两方,的符号.【详解】,,,从而时,凹,时,凸,于是为拐点.又,时,,从而为极小值点.所以,是极值点,是曲线的拐点,故选（C）.（9）等于（A）.（B）.（C）.（D）【分析】将原极限变型，使其对应一函数在一区间上的积分和式。作变换

5、后,从四个选项中选出正确的.【详解】故选（B）.（10）设函数连续,且,则存在,使得（A）在内单调增加.（B）在内单调减小.（C）对任意的有.（D）对任意的有.【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数在附近的局部性质.【详解】由导数的定义知,由极限的性质,,使时,有即时,，时,,故选（C）.（11）微分方程的特解形式可设为（A）.（B）.（C）.（D）【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式.【详解】对应齐次方程的特征方程为,特征根为,对而言,因0不是特征根,从而其特解形式可设为对,因为特征根,从而其特

6、解形式可设为从而的特解形式可设为（12）设函数连续,区域,则等于（A）.（B）.（C）.（D）【分析】将二重积分化为累次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标系和极坐标系,并在两种坐标系下化为累次积分.【详解】积分区域见图.在直角坐标系下,故应排除（A）、（B）.在极坐标系下,,,故应选（D）.（13）设是3阶方阵,将的第1列与第2列交换得,再把的第2列加到第3列得,则满足的可逆矩阵为（A）.（B）.（C）.（D）.【分析】根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对题中给出的行（列）变换通过左(右)乘一相应的初等矩

7、阵来实现.【详解】由题意,,,从而,故选（D）.（14）设,为满足的任意两个非零矩阵,则必有（A）的列向量组线性相关,的行向量组线性相关.（B）的列向量组线性相关,的列向量组线性相关.（C）的行向量组线性相关,的行向量组线性相关.（D）的行向量组线性相关,的列向量组线性相关.【分析】将写成行矩阵,可讨论列向量组的线性相关性.将写成列矩阵,可讨论行向量组的线性相关性.【详解】设,记（1）由于,所以至少有一(),从而由（1）知,,于是线性相关.又记,则由于,则至少存在一(),使,从而线性相关,故应选（A）.三.解答题（本题共9小题，

8、满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分10分）求极限.【分析】此极限属于型未定式.可利用罗必塔法则,并结合无穷小代换求解.【详解1】原式【详解2】原式（16）（本题满分10分）设函数在（）上有定义,在区间上,,若对任意的都满足,