2004年数学一试题评析

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1、2004年数学一试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为.【分析】本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。【详解】由，得x=1,可见切点为，于是所求的切线方程为，即.【评注】本题也可先设切点为，曲线y=lnx过此切点的导数为，得，由此可知所求切线方程为，即.本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到.（2）已知，且f(1)=0,则f(x)=.【分析】先求出

2、的表达式，再积分即可。【详解】令，则，于是有，即积分得.利用初始条件f(1)=0,得C=0，故所求函数为f(x)=.【评注】本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。完全类似的例题见《数学复习指南》P89第8题,P90第11题.（3）设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为.【分析】利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。【详解】正向圆周在第一象限中的部分，可表示为于是=【评注】本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为

3、定积分计算即可.完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143例10.11，《考研数学大串讲》P122例5、例7.17（4）欧拉方程的通解为.【分析】欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换化为常系数线性齐次微分方程即可。【详解】令，则，，代入原方程，整理得，解此方程，得通解为【评注】本题属基础题型，也可直接套用公式，令，则欧拉方程，可化为完全类似的例题见《数学复习指南》P171例6.19,《数学题型集粹与练习题集》P342第六题.，《考研数学大串讲》P75例12.（5）设矩阵，矩阵B满足，其中为A

4、的伴随矩阵，E是单位矩阵，则.【分析】可先用公式进行化简【详解】已知等式两边同时右乘A，得，而，于是有，即，再两边取行列式，有，而，故所求行列式为【评注】先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵，一般均应先利用公式17进行化简。完全类似例题见《数学最后冲刺》P107例2，P118例9（6）设随机变量X服从参数为的指数分布，则=.【分析】已知连续型随机变量X的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。【详解】由题设，知，于是==【评注】本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字

5、特征，而不应在考试时再去推算。完全类似例题见《数学一临考演习》P35第5题.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把时的无穷小量，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A).(B).(C).(D).[B]【分析】先两两进行比较，再排出次序即可.【详解】，可排除(C),(D)选项，又=，可见是比低阶的无穷小量，故应选(B).【评注】本题是无穷小量的比较问题，也可先将分别与进行比较，再确定

6、相互的高低次序.完全类似例题见《数学一临考演习》P28第9题.（8）设函数f(x)连续，且则存在，使得(A)f(x)在（0，内单调增加.（B）f(x)在内单调减少.(C)对任意的有f(x)>f(0).(D)对任意的有f(x)>f(0).[C]【分析】函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可。【详解】由导数的定义，知17，根据保号性，知存在，当时，有即当时，f(x)f(0).故应选

7、(C).【评注】题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论。完全类似例题见《数学一临考演习》P28第10题.（9）设为正项级数，下列结论中正确的是(A)若=0，则级数收敛.（B）若存在非零常数，使得，则级数发散.(C)若级数收敛，则.(D)若级数发散,则存在非零常数，使得.[B]【分析】对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.【详解】取，则=0，但发散，排除(A)，(D)；又取，则级数收敛，但，排除(C),故应选(B).【评注】本题也可用比较判别法的极限

8、形式，，而级数发散，因此级数也发散，故应选(B).完全类似的例题见《数学复习指南》P213例8.13.（10）设f(x)为连续函数，，则等于(A)2f(2).(B)f(2).(C)–f(2).(D)0.[B]【分析】先求导，再代入t=2求即可。关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量t.【详解】交换积分次序，得17=于是，，从而有，故应选(B).【评注】在应用变限的积分对变量x求导时，应注意被积函数中不能含有变量x:否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被