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1、文登学校 2005年数学一试题分析、详解和评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）曲线的斜渐近线方程为（2）微分方程满足的解为（3）设函数，单位向量，则=（4）设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则（5）设均为3维列向量，记矩阵，，如果，那么2.（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从中任取一个数，记为Y,则=.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数，则f(
2、x)在内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[]（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数.[]（9）设函数,其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有17文登学校 (A).（B）.(C).(D).[]（10）设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻
3、域，在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y).(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z).[]（11）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是(A).(B).(C).(D).[]（12）设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,分别为A,B的伴随矩阵，则(A)交换的第1列与
4、第2列得.(B)交换的第1行与第2行得.(C)交换的第1列与第2列得.(D)交换的第1行与第2行得.[]（13）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为XY0100.4a1b0.1已知随机事件与相互独立，则(A)a=0.2,b=0.3(B)a=0.4,b=0.1(C)a=0.3,b=0.2(D)a=0.1,b=0.4[]（14）设为来自总体N(0,1)的简单随机样本，为样本均值，为样本方差，则(A)(B)17文登学校 (C)(D)[]三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分1
5、1分）设，表示不超过的最大整数.计算二重积分（16）（本题满分12分）求幂级数的收敛区间与和函数f(x).（17）（本题满分11分）如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明：（I）存在使得；（II）存在两个不同的点，使得（19）（本题满分12分）设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分
6、段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数.（I）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有；（II）求函数的表达式.（20）（本题满分9分）已知二次型的秩为2.17文登学校 （I）求a的值；（II）求正交变换，把化成标准形；（III）求方程=0的解.（21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵（k为常数），且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求：（I）(X,Y)的边缘概率密度；（II）的概率密度（23）（本题满分9分）设为来自总体
7、N(0,1)的简单随机样本，为样本均值，记求：（I）的方差；（II）与的协方差17文登学校 1.【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】因为a=，，于是所求斜渐近线方程为【评注】如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当时，极限不存在，则应进一步讨论或的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线。2.【分析】直接套用一阶线性微分方程的通解公式：，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】原方程等价为，于是通解为=，由得C=0
8、，故所求解为【评注】本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型.另外，本题也可如下求解：原方程可化为，即，两边积分得，再代入初始条件即可得所求解为完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P.1543.【分析】函数u(x,y,
