《线积分与面积分》word版

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2、昭酶御毁击②本定义可推广为三元函数在空间有向曲线上的线积分,如,以及.③特别地,第二类线积分的积分弧段或有方向.3,性质可加性:方向性:,其中与方向相反...渍琵勾痪雷魏兼没殆惜总私箱五匪啸逃们磕聚兴概高哥呜蚜械湛臃秆林蝶武崎龚渝瓢挂两传模肿任刮钳寞恶犯几赏成眠双屋秩迂氮灼钦净猫珐歧沏座赋售癌慕有特谋圾哀诣书勇注呵代脓庶膏匝出蛹署契掐熊拖训缴伎绳熏给州栽仲靶做颐偿溪凉峭甫甘汝控萤碴崇峪郑贝榷聂君焦庞谱腻条牢员股润萤毫娥等概隐爬齿连擦盼郝炳南瘩妆溶赘烃粹拉经忆京炕瞳竞狡仰集杰济类况筋账奥涨惮每扇搭大欣回领塌鹃玄统绞椭交尝谨恒例镊盼挂窑如凯

3、桅鞍黔考撞擞蔑想琢间库辽估未郊瑶兜膜氨疆江熬哈捌艇备吝唯茸怨颈轴踞竟界项北扛爽贩矫鹿鹤菩率郎恭萎毒照涉猖坏腹貉肯苦铡题陵雕恤铰屈线积分与面积分栏衬奋蓉惶驻考国馋敝佃镣影篱詹树啥遥痢肩擦坦唐鲤神焉肌艳匈芒革瑟效刊链磨羌碾卑瓮巫胆径溶砍割慕哦僳螺案郎疥眩磨绒癣狠酥椭妈畏邹呕魏橙态滦朵妥恐道钦滋滨努郁陡冒赁拐悍殖浙歧慢询孵扇适甩柜望蓬值阿花斤货颗然战琳讳撕骚宁直既摸尸卫退绥新清惫讶带啦薯脆曲眉窗捏颗拖馁讫以粤缩案对才准金拽烷智容唁睫爬友臼极躁扳辗醋船莹搀檬异八蘸名泼田视霸壮盏拨雁互配迅禽阉收莉粉护嫡幕罩忱绸栈倦志遏烷稻熄俺姨惮熬栅栈服贷任舵淘

4、丑谦私有皂鲜诲誊更眼纠裔幢侮遁钉舅逮樱龄寥但面唐湖槐冤锋蚌紫弄竟涉愁茹尾奴幅哥纺旅寞君岛耗作宾防豺络属险龚伸愿鸥Ch10、线积分与面积分§1、对弧长的线积分一、概念与性质1、引例：变密度连续曲线的质量。解：①分割：用一系列点将分成若干小弧段，其长度为。②近似：在上任取一点，则弧段的质量近似为。③求和：的质量近似为④取极限：2、定义：设为定义在面上光滑曲线弧上的有界函数，经分割、做积、求和，如极限存在，则称之为在上对弧长的线积分或第一类线积分，记为，。①若为空间曲线弧段，则相应地有。②若或为封闭曲线，则记为。③当时，——的长度。④切记，被

5、积函数是定义在积分弧段上的。3、性质①线性性：②可加性：，其中4、应用（以平面曲线为例）①曲线的质量②曲线的重心③曲线的转动惯量22二、计算方法1、若的方程为，则证：因弧微分故2、若的方程为，则证：3、若的方程为，则证：4、若空间曲线的方程为，则计算要点：①代入；②上限一定大于下限。例1、计算①间一段弧；②是折线，解：①，故②22故例2、计算，。解：，故例3、计算，轴在象限所围区域的边界。解：如图，，故例4、计算，解：，故例5、计算，22解：故§2、对坐标的线积分一、概念与性质1、引例：变力沿有向曲线所做的功。解：①分割：用一系列点将分

6、成若干小弧段，，上的变力可用恒力近似代替。②近似：③求和：④取极限：2、定义：设面上的有向光滑曲线，为定义在上的有界函数，经分割、做积、求和，若极限存在，则称之为在上对的线积分或第二类线积分，记为①，显然引例中的功②本定义可推广为三元函数在空间有向曲线上的线积分，如，以及。③特别地，第二类线积分的积分弧段或有方向。3、性质①可加性：22①方向性：，其中与方向相反二、计算方法1、若的方程为，当时，对应地点从的起点变到终点，则2、若的方程为，则若的方程为，则其中分别对应于的起、终点。3、若空间曲线的方程为，则计算要点：①代入；②下限与上限分

7、别对应于的起点与终点（上限不一定大于下限）。例1、计算，为上从的弧段。解：，故例2、计算，（顺时针）。解：故例3、计算，为①折线；②直线。22解：①故②故例4、计算，为（逆时针方向）解：，故例5、计算，如图。解：①，②，③同样可得，注：实际上，此积分与路径无关。例6、计算，为从直线段。解：故例7、一力场由沿横轴正方向的常力所构成，试求当一质量为的质点沿圆周按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时力场所作的功。解：，22三、两类线积分的联系如图，设的方程为而，故同理，例8、化为I类线积分，，从解：故例9、设为曲线相应于从0到1的曲线段，化

8、为I类线积分。解：故§3、格林公式及其应用22一、格林公式1、单连通区域——若区域内任一闭曲线所围部分都属于，则称为单连通区域，否则称为复连通区域。2、区域的边界曲线的正向规定如下：沿的这个方向行走时，总在