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1、第7节第二型线积分和面积分场的概念对坐标的曲线积分对坐标的曲面积分(LineintegralsandSurfaceintegralsoftheSecondType(Lineintegralswithrespecttox,y,andz)(Surfaceintegralswithrespecttocoordinateelements2009年5月1南京航空航天大学理学院数学系若对全空间或其中某一区域V中每一点M,都有一个数量(或向量)与之对应,则称在V上给定了一个数量场(或向量场).例如:温度和密度都是数量场,M的位置可由坐标确定.因此给定了
2、某个数量场就总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数.同理,每重力和速度都是向量场.在引进了直角坐标系后,点等于给定了一个数量函数在以下讨论中场的概念2009年5月2南京航空航天大学理学院数学系个向量场都与某个向量函数相对应.这里P,Q,R为所定义区域上的数量函数,并假定它们有一阶连续偏导数.如,设一个质点在处受点O的距离成正比,F的大小与M到原F的方向力F的作用,与OM垂直且与y轴夹锐角,则2009年5月3南京航空航天大学理学院数学系磁力线等都是向量场线.注场的性质是它本身的属性,和坐标系的引进无关.引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方
3、法来进行计算和研究它的性质.则称曲线L为向量场的向量场线.例如电力线、设L为向量场中一条曲线.若L上每点M处的切线方向都与向量函数在该点的方向一致,即2009年5月4南京航空航天大学理学院数学系梯度场我们已经介绍了梯度的概念,它方向上的方向导数.gradu是由数量场u派生出来的一个向量场,称为是由数量函数所定义的向量函数gradu的方向就是使方向导梯度场.由前面知道,数达到最大值的方向,就是在这个方2009年5月5南京航空航天大学理学院数学系因为数量场的等值面的法线方向为所以gradu恒与u的等值面正交.当把它作为运算符号来看待时,梯度可
4、写作引进符号向量2009年5月6南京航空航天大学理学院数学系解若以上的单位向量,则有例1设质量为m的质点位于原点,质量为1的质点位于记2009年5月7南京航空航天大学理学院数学系它表示两质点间的引力,方向朝着原点,大小与质量的乘积成正比,与两点间距离的平方成反比.这说明了引力场是数量场的梯度场,因此常称为引力势(gravitationalpotential).2009年5月8南京航空航天大学理学院数学系对坐标的曲线积分1第二类曲线积分的概念2两类曲线积分的联系3第二类曲线积分的计算2009年5月9南京航空航天大学理学院数学系向量函数其大小
5、和方向都随点M变化有向曲线指定了方向的曲线.～～～～～～～～～～～～通常指出起点，终点来表明.是向量预备知识2009年5月10南京航空航天大学理学院数学系第二型曲线积分的概念1.问题的提出变力沿曲线所作的功求变力对质点所作的功W.设一质点在变力作用下,从点A点B,常力沿直线所作的功处理办法分割→近似代替→取极限→求和2009年5月11南京航空航天大学理学院数学系（1）分割（2）近似代替(3)求和（4）取极限2009年5月12南京航空航天大学理学院数学系2009年5月13南京航空航天大学理学院数学系2.定义存在称此极限为向量若在有向曲线上的
6、第二类曲线积分函数(坐标形式)(向量形式),或对坐标的曲线积分(与分法和点的取法无关！)，2009年5月14南京航空航天大学理学院数学系第二类曲线积分（向量形式）第二类曲线积分（坐标形式）积分路径被积函数单独形式称为对坐标x的曲线积分;称为对坐标y的曲线积分.2009年5月15南京航空航天大学理学院数学系由定义，变力沿曲线所作的功2009年5月16南京航空航天大学理学院数学系3.性质注第二类曲线积分必须注意积分路径的方向!2009年5月17南京航空航天大学理学院数学系两类曲线积分的联系2009年5月18南京航空航天大学理学院数学系类似地,
7、在空间曲线上的两类曲线积分的联系是其中简记为简记为2009年5月19南京航空航天大学理学院数学系定理1一定存在,且2009年5月20南京航空航天大学理学院数学系例１将积分化为对弧长的积分,解其中C沿上半圆周2009年5月21南京航空航天大学理学院数学系例１将积分化为对弧长的积分,解法2其中C沿上半圆周2009年5月22南京航空航天大学理学院数学系解化为定积分ab将积分化为定积分．2009年5月23南京航空航天大学理学院数学系定理２设上连续，则起点终点第二类曲线积分的计算计算定积分转化求曲线积分当t由a→b时，对应的点M(x,y)从起点A运
8、动到终点B描出曲线为端点的区间上连续，2009年5月24南京航空航天大学理学院数学系注2009年5月25南京航空航天大学理学院数学系A→B对应曲线上ab2009年5月26南京航空航天大学理学院
