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1、摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n为偶数时，其代数精度达到n+1。若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精
2、度。如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度111、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。2、算法
3、流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式Lnx=12nn!dndxn(x2-1)n,x∈-1,1,n=0,1,2⋯称作勒让德多项式。由于(x2-1)n是2n次多项式，所以Lnx是n次多项式，其最高次幂的系数An与多项式12nn!dndxnx2n=12nn!2n(2n-1)(2n-2)⋯(n+1)xn的系数相同。也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式Lnx是在-1,1上带ρx=1的n次正交多项式，而且Lm,Ln=-1
4、1Lm(x)Ln(x)dx=0,m≠n22n+1,m=n这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式Lnx的零点，相应的Gauss型积分公式为-11f(x)dx≈k=1nAkf(xk)此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。其中Gauss-Legendre求积公式的系数Ak=-11ρxωnxx-xkω'nxdx=-11ρxLnxx-xkL'nxdx11其中k的取值范围为k=1,2,⋯,nGauss点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss点xk和系数Ak，在实际应用中只需查表即可。n
5、xAnxA1026±0.9324695142±0.6612093865±1.23861918160.1713244920.3607615730.4679139342±0.577350269217±0.9491079123±0.7415311856±0.405845151400.1294849660.2797053910.3818300500.4179591833±0.7745966692000.55555555560.88888888894±0.8611363116±0.33998104360.34785484510.65214
6、515498±0.9602898565±0.7966664774±0.5255324099±0.18343464250.1012285360.2223810340.3137066450.3626837835±0.9061798459±0.538469310100.23692688510.47862867050.56888888891)高斯-拉盖尔（Gauss-Laguerre）积分公式拉盖尔（Laguere）多项式Lnx=exdndxn(xne-x),0≤x<+∞,n=0,1,2⋯称为拉盖尔多项式。其首项系数为(-1)n,且具有
7、性质：正交性，在区间0,+∞上关于权函数ρx=e-x正交，而且11Lm,Ln=0∞e-xLm(x)Ln(x)dx=0,m≠n(n!)2,m=n积分区间为0,+∞，权函数为ρx=e-x的Gauss型积分公式称为高斯-拉盖尔积分公式，其中Gauss点为拉盖尔多项式Lnx的零点，高斯-拉盖尔积分公式为0∞e-xf(x)dx≈k=1nAkf(xk)同样高斯-拉盖尔积分公式的Gauss点和求积系数如下表所示：nxAnxA20.58578643763.41421356240.85355339050.146446609450.26356031
8、971.41340305913.59642577107.085810005812.64080084420.52175561050.39866681100.07594244970.00361175870.000023370030.41577455672.29428
