第八章控制系统的状态空间分析与综合

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1、第八章控制系统的状态空间分析与综合经典控制理论主要以传递函数为基础，采用复域分析方法，由此建立起来的频率特性和根轨迹等图解解析设汁法，对于单输入一单输出系统极为有效，至今仍在广泛成功地使用。但传递函数只能描述线性定常系统的外部特征，并不能反映其全部内部变量变化情况，且忽略了初始条件的影响，其控制系统的设计建立在试探的基础之上，通常得不到最优控制。复域分析法对于控制过程来说是间接的。现代控制理论由于可利用数字计算机进行分析设计和实时控制，因此可处理时变、非线性、多输入-多输出系统的问题。现代控制理论主要以状态空间法为基础，采用时

2、域分析方法，对于控制过程来说是直接的。它一方而能使设计者针对给定的性能指标设计出最优控制系统，另一方面还可以用更一般的输入函数代替特殊的所谓“典型输入函数”来实现最优控制系统设计。随着控制系统的高性能发展，最优控制、最佳滤波、系统辨识、自适应控制等理论都是这一领域研究的主要课题。在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性是由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。它能反映系统的全部独立变量的变化，从而能同时确定系统的全部运动状态，而且可以方便地处理初始条件。第一节控制系统的状态空间描述一、状态空间的基本概念1.状态和状态变量表征系

3、统运动的信息称为状态，足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变称为状态变量。一个用Z7阶微分方程式描述的系统，就有〃个独立变量，当这《个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动状态也就被揭示无遗了。因此，可以说该系统的状态变量就是n阶系统的a?个独立变量。状态变量的选取具有非唯一性,既可用某一组又可用另一组数目最少的变量作为状态变量。状态变量不一定在物理上可量测，有时只具有数学意义，但实用时毕竞还是选择容易量测的量作为状态变量，以便满足实现状态反馈、改善性能的要求。状态变量的一般记号为X,(z)，x2(z)…，(z)。2.状态

4、向董把描述系统状态的个状态变量x,(Z)，x2(Z)…，x,,(Z)看作向量x(Z)的分量，则向量X(Z)称为Z7维状态向量，记作：V)x(z)=或x(z)=［》(/)，x2(0,nx2(Z)參3.状态空间以n个状态变量作为坐标轴所构成维空间称为状态空间。系统在任一时刻的状态，在状态空间屮用一点来表示。随着时间的推移，x(Z)将在状态空间屮描绘出一条轨迹，称为状态轨线。4.状态方程由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。由于状态变量的选择具有非唯一性，故状态方程也具有非唯一性。对于一个具体的系统，当按可量测的物理量来

5、选择状态变量时，状态方程往往不具备某种典型形式，当按一定规则来选择状态变量时则具有典型形式，从而给研宂系统特性带來方便。尽管状态方程形式不同但它们都描述了同一个系统，不同形式的状态方程之间实际上存在着某种线性变换关系。用图9一1所示的R-L-C网络说明如何用状态变量描述这一系统。ftL此系统有两个独立储能元件，即电容C和电感A,故用二阶微分方程式描述该系统，所以应有两个状态变量。状态变量的选取，原则上是任意的，但考虑到电容的储能与其两端的电压％.有关，电感的储能与流经它的电流/’有关，故通常就以^和z‘作为此系统的两个状态变量

6、。亦即士RiA…二•cC:1R.1I=U,、1+——ULcLL(8-1)设状态变:U=ue，x2=i，则该系统的状态方程为根据电工学原理，容易写出两个含有状态变量的一阶微分方程式：(8-267)写成向:W:矩阵形式为简记为i二Ax+bu式小x=0丄c1R，b="0~I~~L~~L_~L_01CV+01x2_丄Rx21—•■.L~~L_LL]若改选人和＜作为两个状态变量，即令=人，则该系统的状态方程为x2LCR1Xi+UL2LC011R+"o-lLCL_kJLacJ(8-2Z?)比较式(8-26T)和式(8-2/?)，显然，同一

7、系统，状态变量选取的不同，状态方程也不同。5.输出方程系统输fli量与状态变量、输入®的关系称为输出方程。输出B:巾系统任务确定或给定。如在图9一1系统中，指定=人作为输山，输山一般用表示，则有y=uc(8-3)或y=x}式(8-3)就是图8-1系统的输出方程，它的矩阵表示式为x2一或y=cx6.状态空间表达式状态方程和输fli方程的组合称为状态空间表达式，它既表征了输入对于系统内部状态的因果关系，乂反映了内部状态对于外部输出的影响，所以状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。由于系统状态变量的选择是非唯一的，因此状态空间表达

8、式也是非唯一的。设单输入一单输出线性定常连续系统，其状态变量为…，xn(Z),则状态方程的一般形式为x,=+a]2x2++x2=6Z21x,+a22x2Hl-^2/Jxw+b2uA,=an2X2+…+人人+b”U输出方程则有如下形式(8-5)用向量矩阵表示吋的状态空间表达式则