matrix theory矩阵论

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1、MatrixTheory矩阵论教材：矩阵论简明教程（第二版）徐仲，张凯院，陆全，冷国伟编著科学出版社第一章矩阵的基础知识§1.1矩阵的运算§1.2方阵的行列式§1.3矩阵的秩§1.4特殊矩阵类§1.1矩阵的运算一、矩阵的概念1、数集R—实数集，C—复数集2、矩阵的记号Notations二、矩阵的运算1、加法，减法2、数乘3、乘法4、转置与共轭转置5矩阵的逆6方阵行列式7伴随矩阵三、矩阵的运算规律1、求方阵的逆阵求逆矩阵的基本方法有：（1）定义法例题（2）公式法（3）初等变换法解：用定义法解：本题主要考查矩阵乘法的结合律与逆阵的定义解：四、矩阵分块及运算1、加法，减法2、数乘3

2、、乘法4、转置与共轭转置§1.2方阵的行列式一、行列式的定义与性质Property1:IfAisasquarematrix,thendetA=detAT.Thatis,Property2:Ifarow(orcolumn)ofAconsistsentirelyofzeros,thendetA=0.Thatis,Property3:IfmatrixBresultsfromMatrixAbyinterchang-ingtworows(orcolumns)ofA,thendetB=detA.Thatis,Property4:IfBisobtainedfromAbymultiplyin

3、garow(orcolumn)ofAbyarealnumberc,thendetB=cdetA.Property5:Ifeachelementofsomerow(orcolumn)ofdetAisthesumoftwonumbers,thenitcanrepresentedbythesumoftwodeterminant.Thatis,Property6:IfBisobtainedfromAbyaddingtoeachelementoftherthrow(orcolumn)ofAktimesthecorrespondingelementofthesthrow(orcolumn)

4、(r≠s)ofA,thendetB=detA.Thatis,例1:求Solution:Example2:Evaluatethefollowing(n+1)thorderdeterminantSolution:Example3:EvaluatethefollowingnthorderdeterminantSolution:Example4:EvaluatethefollowingnthorderdeterminantSolution:二、块矩阵的行列式即某行左乘一个矩阵加到另一行，值不变；某列右乘一个矩阵加到另一列，值不变。Example1证：Example2证：Example3

5、证：三、Vandermond行列式一、矩阵秩的定义及基本性质1、秩的定义§1.3矩阵的秩2、基本性质（1）初等变换不改变矩阵秩；Example1SolutionExample2Solution二、矩阵秩等式三、矩阵秩不等式定理1推论1Example1Proof§1.4特殊矩阵类一、几类基本的特殊矩阵1、零矩阵，单位矩阵I2、对角矩阵3、三角矩阵二、正规矩阵定义1以下矩阵都是正规矩阵：定义2三、初等矩阵类1、定义有以下三类初等矩阵：定义3RowiRowj2、三种初等矩阵的统一表示Notations四、其他特殊矩阵类第二章矩阵的相似变换§2.1矩阵的特征值与特征向量§2.2矩阵的相

6、似对角化§2.3矩阵的Jordan标准形§2.4Hamilton-Cayley定理§2.5矩阵的酉相似一、特征值与特征向量1、定义§2.1矩阵的特征值与特征向量定义1RemarksThefollowingresultgivesanecessaryandsufficientconditionforanumbertobeaneigenvalueofA.Theorem12、特征多项式定义2Notations3、特征值与特征向量的求法例1解二、特征值与特征向量的性质定义3定理1定理2定义4定理3定理4NotationsExample2SolutionExample3SolutionE

7、xample4Solution§2.2矩阵的相似对角化一、矩阵的相似1、定义定义12、性质定理1定理2Proof（2）二、相似对角化1、定义定义22、相似对角化的条件定理3Proof推论1推论2Example2SolutionExample3Solution一、Jordan标准形1、定义定义1§2.3矩阵的Jordan标准形Notations2、矩阵的Jordan分解定理定理1二、Jordan标准形的求法1、初等变换法定义2定理2Notations定义3由初等变换求矩阵A的Jordan标准形