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1、考点105圆锥曲线中的定值、定点问题 一、课本基础提炼 1.将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y得到关于x的方程mx2+nx+p=0. （1）若m≠0，当△＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点.当△=0时，直线与圆锥曲线有且只有一个公共点，此时直线与双曲线相切.当△＜0时，直线与圆锥曲线无公共点. （2）当m=0时，若圆锥曲线为双曲线，则直线与双曲线只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行；若圆锥曲线为抛物线，则直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线的对称轴平行. （3）设直线与圆锥曲线的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则
2、 2.直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长 二、二级结论必备 1.对与圆锥曲线有关的中点弦问题，常用点差法，及设出弦的端点坐标，代入曲线方程，两式相减，利用中点公式和直线的斜率公式即可得出直线的斜率. 2.已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点的直线交抛物线于A、B两点(如右图所示)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有以下结论： (1)
3、AB
4、＝x1＋x2＋p，或(α为AB所在直线的倾斜角)； (2) (3)y1y2＝－p2. (4)以AB为直径的圆与抛物线的准线
5、相切. 3.过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p 4.椭圆与双曲线的通径长为 5.P(x0，y0)是抛物线C上一点，F为抛物线的焦点. （1）当焦点在x轴正半轴上时， （2）当焦点在x轴负半轴上时， （3）当焦点在x轴正半轴上时， （4）当焦点在x轴正半轴上时， 1.圆锥曲线中的定点问题 求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样
6、就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求，再用一般化方法证明． 例1已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程; (Ⅱ)已知点B(－1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点. 【查看答案】【答案】 (Ⅰ)y2=8x; (Ⅱ)定点（1,0） 【解析】 (Ⅰ)A(4,0),设圆心C(x，y)，MN线段的中点为E，由几何图像知： CA2=CM2=ME2+
7、EC2 ⇒(x-4)2+y2=42+x2⇒y2=8x (Ⅱ)点B(－1,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2)由题知 y1+y2≠0,y1y2＜0, ⇒8(y1+y2)+y1y2(y2+y1)=0⇒8+y1y2=0 直线PQ方程为： ⇒y(y2+y1)-y1(y2+y1) ⇒y(y2+y1)+8=8x⇒y=0,x=1 所以，直线PQ过定点（1,0） 【点评】 对于定点问题解题技巧：（1）在处理定点与定值问题时，注意从特殊入手这一方法的应用，可以避免盲目的探索.（2）在处理这一问题时，注意整
8、体代换的应用，和设而不求思想的应用. 2.圆锥曲线中的定值问题 解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的方法有两种： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 例2如图，已知双曲线(a＞0)的右焦点F,点A,B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点）. （1）求双曲线C
9、的方程； （2）过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线与直线AF相交于点M，与直线相交于点N，证明点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值. 【查看答案】【答案】 【解析】 （1）设F(c，0)，因为b=1，所以 直线OB方程为直线BF的方程为，解得 又直线OA的方程为则 又因为AB⊥OB，所以，解得a2=3，故双曲线C的方程为 （2）由（1）知，则直线l的方程为(y≠0)，即 因为直线AF的方程为x=2，所以直线l与AF的交点 直线l与直线的交点为 因为是C上一点，则，代入上
10、式得 故所求定值为 【点评】 圆锥曲线中的定值、定点问题要善于从运动中寻找不变的要素，可以先通过特例、极限位
