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1、椭圆的参数方程教学目的:(一)知识:1.椭阅的参数方程.2.椭阏的参数方程与普通方程的关系。(二)能力:1.了解椭圆的参数方程,了解参数方程中系数的含义并能利用参数方程来求最值、轨迹问题;2.通过学习椭圆的参数方程,进一步完善对椭圆的认识,理解参数方程与晋通方程的和互联系.并能相互转化.提高综合运用能力.(三)素质:使学生认识到事物的表现形式可能不止一种。教学重点:椭岡参数方程的推导.参数方程与普通方程的相互转化教学难点:1椭圆参数方程的建立及应用.2.椭圆参数方程中参数的理解.教学方法:引导启发式教学用具:多媒体辅助教学教学过程:新课引入:问题1.圆x2
2、+/=r2的参数方程是什么?是怎样推导山来的?由圆的人程变形力—=COS汐=1,r—=sinx-rcos3解得:].y=rsm3问题2.设x=3cos扒p为参数,写出椭圆+
3、=1的标准方程。解:把x=3cos^R入椭圆方程,得到y1=4(1-cos2(p)-4sin2(p即y=±2sin^由参数p的任意性,可取j,=2sin因此,椭圆Z+lLl的参数方程是
4、X=3(X)S@(於j参数)94y=2sin(p.探究:能类比圆的参数方程,写出椭圆的参数方程吗?问题2.设x=3cos扒p为参数,写出椭圆+
5、=1的标准方程。解:把x=3cos^R入椭圆方程,得到y
6、1=4(1-cos2(p)-4sin2(p即y=±2sin^由参数p的任意性,可取j,=2sin因此,椭圆Z+lLl的参数方程是
7、X=3(X)S@(於j参数)94y=2sin(p.探究:能类比圆的参数方程,写出椭圆的参数方程吗?二、新课讲解:1、焦点在轴上的椭圆参数方程的推导因为(三)2+(2)2=1,又cos2妒+sin2识=1abiS—=cos^,—=sin^,BP(识为参数),ab[y=bsm^?这是中心在原点0,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。2.参数p的儿何意义思考:类比圆的参数方程屮参数沒的意义,椭圆的参数方程中参数识的意义是什么?椭圆的标准方
8、程:^+^=1椭圆的参数方程:(识为参数)ab~y=bsxn(p圆的参数方程中沒是Ox轴逆时针旋转到的旋转角即ZAOP=0,那么椭圆的参数方程中p是不是上图中Ox轴逆时针旋转到0M的旋转角呢?请大家看下面图片如图,以原点为圆心,分别以u、60〉/?〉0)为半径作两个圆,点5是大圆半径0A与小圆半径的交点,过点A作丄ax,垂足为N,过点S作丄/UV,垂足为A1,求当半径04绕点0旋转吋M的轨迹的参数方程.分析:动点A、B是如何动的?M点与A、B有什么联系?如何选取参数较恰当?解:设点坐标为(x,y),^-AOx=(p,以炉为参数,则•¥=ON- Aco
9、s(p=acos识y=NM=
10、OB
11、sin^=Z?sin^,当半径04绕0点逆时针旋转一周时,就得到点似的轨迹,它的参数方程是=识为参数)①[y=bsm(p这是巾心在原点(9,焦点在%轴上的■圆。所以,参数识是点A/所对应的圆的半径04(或OS)的旋转角(称为点的离心角),不是0/W的旋转角,参数沒是半径的旋转角。三、例题解析V2V2例1.在椭圆一+1=1上求一点M,使点到直线x+2V-10=0的距离最小,并求出最小距离.94•解法一:设直线x+2>,+c=0与椭圆相切’2?1+1=1由94—得25x2+18cv+9c2-144=0(1)x+2y+c=0.
12、..A=(18c)2-4x25x(9c2-144)由A二0解得t、2二25由题意知点M为直线x+2y-5=0与椭圆的交点98把f=-5代入(1)解得点A/坐标为/•d=-+2X--1055=4~5因此,M到直线x+2y-5二0的最小距离为4~5解法二:•••椭圆的参数方程为r=3cos'识为参数)[y=2sin(pA可设点AY的坐标为(3cos扒2sin炉).由点到直线的距离公式,得到点M到直线的距离为以=
13、3cos^+4sin^-10
14、一71345(cos炉•_+si呼•_)-104~5二
15、5cos(^-识0)-10
16、,34其中%满足cos奶)=—,si
17、n外=-.由三角函数性质知,当0-外二0时,d取;s小值.98此时3cos(p=3cos(pQ=—,2sin(p=2sin外=—因此,当点Al位于时,点W与直线x+2j.,-10=0的距离取最小值a/?.22变式练习::与简单的线性规划问题类比,你能在实数满足1+1=1的前提下,求出2=%-2>,的2516•最大值和最小值?巾此可以提出哪些类似的问题?解:椭圆的一个参数方程为彳X=5(X)S'识为参数)y=4sm(p设A/(5cos叭4sin灼是椭圆上任意一点•••z=5cos-8sin=V§9cos((p+(p0)其中外满足cos%5.8=_,sin(p
18、Q=V89V89当识+%=0时,z有最大值2532此吋,5cos(