勾股定理数学多种证明方法（共2篇）

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1、勾股定理数学多种证明方法（共2篇）第1篇:关于勾股定理有趣的数学文化与多种证明方法在同学们整个中学的学习生活和实际生活中，我们都会遇到有关直角三角形的计算和测量，那就是勾股定理的运用。我们老师不仅要教会同学们学会勾股定理数学文化知识，更重要的是要让我同学们在日常生活中去灵活运用以及有关它存在的各种数学模型中。还要能感受我们今天的学习都是古代数学家们经过大量的实践与证明的得到的东西，探索数学知识从无到有的文化。勾股定理的发现与证明都是十分精彩的，在历史长河中，勾股定理是全世界人的伟大发现。今天我们教科书上的多种证明，在此一一列

2、举出来，可能对同学们学习数学以及培养数学兴趣有所帮助。并在今后的学习中铺平道路，对勾股定理有趣的文化有一个更加深刻的认识。一、勾股世界我国是最早了解勾股定理的国家之一，在我国最古老的数学经典著作《周髀算经》上记载着这样一段历史：西周开国之初（约公元前一千多年）有一个叫商高的数学家对周公（周武王的弟弟，封在鲁国当诸候）说：把一根直尺折成直角，两端连结起来构成一个直角三角形.它的短直角边称为勾，长直角边称为股，斜边称为弦。发现如勾为3，股为4，那么弦必为5。这就是勾股定理，又称商高定理。在西方公元前六世纪到公元前五世纪希腊数学家

3、毕达哥拉斯也发现这一定理，并给出了证明，但他的证明也已失传。后来欧几里得写《几何原本》时，给出一个证明留传至今（后文我们再补充，丰富同学们的视野）。因而西方称这一定理为毕达哥拉斯定理。这一定理在数学上有广泛的应用，而且工程技术，测量中也有许多应用。它在人类文明史上有重要的地位。而在中国的有一位古代数学家赵爽在继商高之后证明了勾股定理。他这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系（与我们今天教科书上一些证明方法的大致类似）。既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代

4、数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且有所发展。稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。二、勾股定理的多种证明方法（以教科书编排为序）：第一种证明：教科书P3，通过直接数出正方形A、B、C的小方格数，将不足一格的方格算半个。结果来看它们之间的关系。小方格数即为面积。由此方法可以得出正方形A、B的面积与正方形C的面积相等。第二种证明：教科书P8，如图所示：分析：正方形EFGH的面积=正方形ABCD-周围四个小三角形的面积。计算：正

5、方形ABCD边长为a+b，则面积为（a+b）2，小三角形的面积为，代入分析里面的公式得：（a+b）2-4€？a2+b2而正方形EFGH的面积也可表示为：c2，所以：a2+b2=c2第三种证明：教科书P8，如图所示：分析：正方形ABCD=正方形EFGH+小正方形EFGH周围的四个小三角形的面积。计算：正方形EFGH的边长为b-a，则面积为（b-a）2，小三角形的面积为，代入分析里面的公式得：（b-a）2+4€祝ǎ？a2+b2，而正方形ABCD的面积也可表示为：c2，所以：a2+b2=c2这里验证勾股定理的方法，据载最早是由三国

6、时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的。我国历史上将图中弦上的正方形称为弦图。这也是2002年世界数学家大会（ICM-2002）在北京召开的会标。如右图所示中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！第四种证明：教科书P11，是美国总统Garfield（伽菲尔德总统）于1876年给出的一种验证勾股定理的办法。整个事情经过是这样的：在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽

7、菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是，伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5

8、的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。如图所示：分析：四边形ABED是直角梯形，