欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:1532989
大小:42.50 KB
页数:4页
时间:2017-11-12
《勾股定理的多种证明方法》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、勾股定理的多种证明方法证法1(梅文鼎证明) 作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P. ∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD, ∴∠EGF=∠BED, ∵∠EGF+∠GEF=90°, ∴∠BED+∠GEF=90°, ∴∠BEG=180°―90°=90° 又∵AB=BE=EG=GA=c, ∴ABEG是一个边长为c的正方形. ∴∠ABC+∠CBE=90° ∵RtΔABC≌RtΔEBD, ∴∠ABC=∠EBD.
2、 ∴∠EBD+∠CBE=90° 即∠CBD=90° 又∵∠BDE=90°,∠BCP=90°, BC=BD=a. ∴BDPC是一个边长为a的正方形. 同理,HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S,则 a^2+b^2=c^2 证法2(项明达证明) 作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC,交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点 F作FN⊥PQ,垂足为N
3、. ∵∠BCA=90°,QP∥BC, ∴∠MPC=90°, ∵BM⊥PQ, ∴∠BMP=90°, ∴BCPM是一个矩形,即∠MBC=90°. ∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=°, ∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°, ∴∠QBM=∠ABC, 又∵∠BMP=90°,∠BCA=90°,BQ=BA=c, ∴RtΔBMQ≌RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2证法3(赵浩杰证明) 作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的
4、多边形. 分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG, ∵EF=DF-DE=b-a,EI=b, ∴FI=a, ∴G,I,J在同一直线上, ∵CJ=CF=a,CB=CD=c, ∠CJB=∠CFD=90°, ∴RtΔCJB≌RtΔCFD, 同理,RtΔABG≌RtΔADE, ∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE ∴∠ABG=∠BCJ, ∵∠BCJ+∠CBJ=90°, ∴∠ABG+∠CBJ=90°, ∵∠ABC=90°, ∴G,B,I,J在同一直线上, 所以a^2+b^2=c^2证法4(欧几里得证明) 作三个
5、边长分别为a、b、c的三角形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结 BF、CD.过C作CL⊥DE, 交AB于点M,交DE于点L. ∵AF=AC,AB=AD, ∠FAB=∠GAD, ∴ΔFAB≌ΔGAD, ∵ΔFAB的面积等于, ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半, ∴矩形ADLM的面积=. 同理可证,矩形MLEB的面积=. ∵正方形ADEB的面积 =矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积 ∴即a的平方+b的平方=c的平方证法5(欧几里得的证法) 《几何原本》中的证明 设△ABC为一直角三角形,其中A
6、为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。 在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下: 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS定理)三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。证明的概念为:把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。 其证明如下: 设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB。其边为
7、BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A和G都是线性对应的,同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC。因为AB和BD分别等于FB和BC,所以△ABD必须相等于△FBC。因为A与K和L是线性对应的,所以四方形BDLK必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形BDLK必须有相同的面积BAGF=
8、AB^2。同理可证,四边形CKLE必须
此文档下载收益归作者所有