多种方法证明勾股定理

《多种方法证明勾股定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、多种方法证明勾股定理【证法1】（课本上的证明方法）      做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等。即，整理得。【证法2】（中国古代数学家邹元治的证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于。把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上。∵R

2、tΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF。∵∠AEH+∠AHE=90º,∴∠AEH+∠BEF=90º。∴∠HEF=180º―90º=90º。13-13-∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2。∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA。∵∠HGD+∠GHD=90º,∴∠EHA+∠GHD=90º。又∵∠GHE=90º,∴∠DHA=90º+90º=180º。∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于.∴。∴。【证法3】（三国时期赵爽的证明）以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作

3、四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于。把这四个直角三角形拼成如图所示形状。∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB。∵∠HAD+∠HAD=90º，∴∠EAB+∠HAD=90º，∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2。∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90º。∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于。∴。∴.【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于。13-13-把这两个直角三

4、角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上。∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC。∵∠AED+∠ADE=90º,∴∠AED+∠BEC=90º。∴∠DEC=180º―90º=90º。∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于。又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,∴AD∥BC。∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于。∴。∴。【证法5】（今安徽省宣城市宣州区清代数学家梅文鼎的证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c。把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F

5、在一条直线上。过C作AC的延长线交DF于点P。∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180º―90º=90º。又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一个边长为c的正方形。13-13-∴∠ABC+∠CBE=90º。∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD。∴∠EBD+∠CBE=90º。即∠CBD=90º。又∵∠BDE=90º，∠BCP=90º，BC=BD=a。∴BDPC是一个边长为a的正方形

6、.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则,∴。【证法6】（今杭州清代数学家项明达的证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c。再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上。过点Q作QP∥BC，交AC于点P。过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N。∵∠BCA=90º，QP∥BC，∴∠MPC=90º，∵BM⊥PQ，∴∠BMP=90º，∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90º.13-13-

7、∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMP=90º，∠BCA=90º，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA。同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF。从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）。【证法7】（古希腊的数学家欧几里得的证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.。∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌Δ

8、GAD，∵ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴矩形ADLM的面积=。同理可证，矩形MLEB的面积=。∵正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积，∴，即。【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D。13-13-