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1、一、变换问题平移、对称和旋转变换是解决平面儿何问题屮经常用到的三种方法,它可以将图形屮分散的几何量集中起来,构成新的图形,便于找到解决问题的途径.下面是利用这些变换解决几何问题的几个实例，供参考.（一）平移变换：平移变换的两个要素：平移的方向和平移的距离。1.设P力ABCD内的一点，试证：以PA，PB，PC，PD为边可以构成一个凸四边形，它的面积刚好是ABCD面积的一半.分析PA,PB,PC,是从同一点P出发的四条线段，要使它们能构成首尾相接的凸四边形，必须将部分线段移动位罝，而不改变它们的长度
2、.考虑分别将PA,PD平移到P：B和P：C的位置（图2），则AB=P,P=DC,于是ABPJ>和PP>CD为平行四边形，BPfAP,P,C=PD,BPiCP是一个以AP,BP,CP,DP为边的凸四边形.因S膽=SaABP,SaPP1C=SaPCD,SaABP+SaPCD-—SABCD,故SbPICP-一SABCD.222.如图，在己知AABC的AB和AC边上分别找出点D和E,使AD=CE,•且DE//BC.分析假设点D和点E已找到,平移EC到DF,则AD=DF=EC,故Z1=Z3.又DF//AC
3、,所以Z3=Z2,由此知Z1=Z2,即AF为ZBAC的平分线.现冋到问题解决，作ZBAC的平分线AF，交BC于点F，过I7作FD//AC，交AB于点D,过D作DE//BC,交AC于点E,则D和E为所要求的两点.3.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点，延长BA,EF相交成Z1,延长EF，CD相交成Z2,求证：=Z2.分析当四边形ABCD不是梯形时，G，II两点不重合（图3），Zl，Z2分别在△GBE和AHEC屮，而这两个三角形又不全等，如果将Z1和Z2移到同一个三角
4、形中，则问题易于获解.证明平移DC到BK的位置，则得BKCD为平行四边形，DK和BC相互平分于E，即DE=EK,于是FE//AK,得Z1=Z3,Z2=Z4•又BK=CD=AB,故Z3=Z4,所以=Z2.4.（朝阳一模）已知：如图，在00中，弦CD垂直直径AB,垂足为M,AB=4,CD=2斤，点E在AB的延长线上，且tan£=二二.3（1）求证：DE是00的切线；（2）将AODE平移，平移后所得的三角形记为AOirE'.求当点E"与点C重合吋，△013乍/与00重合部分的面积.（二）对称变换对称变
5、换（或反射变换）一般可分屮心对称和轴对称变换两种，下面举例以阐述它的应用.积。5、如阁，三角形ABC屮，ZA=45°,AD丄BC,BD=3,CD=2,求AABC的而5.(轴对称变换)在AABC屮,AB=AC,0为形闪一点，ZA=80°,ZOBC=10°,ZOCB=20°，求ZCA0的度数.解由条件知ZAB0=40°,ZACO=30°,ZBOC=150°.作点0关于AC的对称点0h则AA0C空AAOA于是Z0C0F6CT,A0C0,为等边三角形，且ZOAOO,.因ZB00二360°-ZB0C-ZC
6、00,=150°，故AB0C给ABOOi,Z0,BC=20°.又因ZABOf30°,ZACO,=30°，故A,B,C,0,四点共圆，/.ZOiAC=ZOiBC=20°，故Z0AC=20°.6.（中心对称变挽）问题已知正方形ABCD和等腰RtABEF,BE=EF,ZBEF=90a,按图1放置，使点F在ABC上，取DF的巾点G,连结EG,CG.（1）探索EG,CG的位置关系与数量关系并证明；（2）将图1屮ABEF绕B点顺时针旋转45°,再连结DF,取DF的屮点G,问（1）屮的结论是否仍然成立？证明你
7、的结论；⑶将图1中ABEF绕B点转动任意角度（旋转角在0°到90°之间），再连结DF,取BDE的中点G,问（1）巾的结论是否仍然成立?证明你的结论.（三）旋转变换：旋转变换的三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度；旋转变换的性质：（1）旋转前后的两个图形是全等形（2）对应顶点到旋转中心的距离相等（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（4）旋转前后对应线段的夹角等于旋转角7.（石景山一模）如图，已知点D在AC上，为EC的中点.（1）求证：为等腰直角三角形.AABC和241）£都是等腰直角
8、三角形，点M将MD£绕点A逆时针旋转45°,如图，（1）中的“为等腰直角三角形”是否仍然成立?清说明理由.将MD£绕点A逆时针旋转135°,如图，（1）中的“为等腰直角三角形”成立吗？CA(4)我们是否付以猜想，将AADE绕点A任意旋转一定的角度，如图24-4,(1冲的“SBMD为等腰直角三角形”均成立？(不用说明理由).(变式)10.如网，AABC和AADE是两个不全等的等腰直角三角形,现固定AABC和AADK.请问：(DEC上是否存在点M,使ABMD为等腰直角三角形.(2)若AADE绕点A旋
