一个圆柱表面最短路径问题的解决

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1、一个圆柱表面最短路径问题的解决陕两师范大学数学系（710062）罗增儒本文展示一个圆柱表面最短路径问题的流行误解和探索轨迹，并提供最终解决.1一个流行误解的探索轨迹1-1误解的呈现有一个流行的误解已经引起了部分人们的注意，但还没有被大家全都认识，请看：如图1,一只圆图1例1（文lljP.6说）在讲授平面展开图时我设计了这样一个题目筒的下方有一只小壁虎上方有一只蚊子C.现在小壁虎要想尽快吃到蚊子，它应该走哪条路径？请你帮小壁虎设计一条路线，具体怎么操作呢.文［1］继续说：“学生小组讨论，自主合作，共同探讨，鼓励学生发表自己的观点，充分肯定学生的积极参与性，让学生通过探索发现将圆筒沿着一条棱展开

2、就可得出解法的方法.”文没有说学生具体怎么计算，但从图形没有出现上底直径、展开没有提到上下底等迹象可以猜测：学生的“探索发现”形同下面的例2（将圆筒沿着一条棱展开）.例2（2005年贵阳（课改）中考）如图2,一圆柱体的底而周长为24czn,高Afi为4cm,—只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到C点的最短路程大约是（）.（A）6cm（B）12cm（C）13cm（D）16cm解把圆柱体沿母线AB展开，得图3所示的矩形，从A点到C点的最短路程就是线段AC的长（路径因为SC的长是底而圆的周长的一半高AS的长是4cm,所以在直角口/lBC中，由勾股定理得AC=7aS2+BC2=a/42+122=4

3、Tio-13(cm).答案选（C）.这种处理对吗？我们说，如果这正是例1学生“小组讨论，自主合作，共同探讨”得出的方法的话，那么师生们就企都陷进了“流行的误解”，而教师则还没有尽到指导的贵任.（也可能是没有看清“表面”与“侧而”的微小区别）1-2误解的剖析首先指出，上述例1、例2的处理中有三个“化归”是很好的：化归1:把一个实际问题转化为一个数学问题；化归2:把一个空间问题转化为平面问题；化归3:把一个平而问题转化为解直角三角形.（用到两点之间直线距离最短）但是，在把空间图形展平时没有注意到由A点到C点有两类路径：路径1:只走侧面.展平后，转变为“两点之间直线距离最短”；路径2:既走侧面又走

4、底逝，走侧囬时，转变力“两点之间直线距离最短”；走底面时,也走“两点之间的直线距离”.这时，要用到底面的展平，并且底面展平有多样性.“流行的误解”就在于只看到第一类路径，没有看到第二类路径（逻辑漏洞1）,更没有看到第二类路径的多样性（逻辑漏洞2,参见下文的讨论）.如图4,将圆柱的侧而展开为矩形、上底面展幵为母线Afi上方的圆，由“两点之间直线距离最短”可以得到两条直线距离.•第一条，如例2所述，是沿侧面展平后的直线距离，有L'=AC,=y]AB2+=4VlO•第二条，是先沿侧而走母线AB,然后走圆的直径BC，展平后有24由于4弓<4+*12<4孤所以更小.m的答案是错误的.1^2=+BC）=

5、4+—.那么，是不是任何情况下都有乙2<门呢？请看反例.例3如图2,一圆柱体的底而周松为16cm,高A5为4cm,—只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表而爬行到C点的最短路程是cm.解如图4,沿用例2的解法，有^■3.2L,=AC,=y/AB2+BC,2=V42+82=4>/5,那么，什么吋候L,小、什么吋候£2小呢？1-3误解的流行“解决”考虑更一般性的情况.例4如图2,—圆柱体的底面周长为2;rrc/n，高AB为hcm，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到C点，求最短路程.解如图4,沿用例2的解法，有=AB+BC2=/z+2r.分三种情况讨论:(2)L'

6、+2r«—<7厂+(；ZT)一>/i+2r»—>h-4（3）L,＞L2«4r记常数—=0.681为^可见，£,与£，的大小关系有三种惜况：当一＜“时，沿;r-4"hh/r-4侧面爬行的路程最短，为卜加+⑻2;当乙〉d时，先竖直向上爬到4的正上方，、h沿直径爬到C点的路程最短，为L2=h+2r;当i=G时，两种爬行方式的路程一样.一h看上去，这种讨论己经很细致了，文［2］进行到这里时，“教室响起了热烈的掌声”.误认为问题已彻底解决的类似认识在文『3］等处也可以看到，然而，这依然有逻辑的漏洞一一为什么只有这两条路径呢？1-4误解的继续探索事实上，蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表而爬行到C点的路径，除

7、了以上&，£2两种之外，还存在无穷多条从A到C的路径.如图5所示：A^D^C,其中AZ）是侧面上的最短距离（侧而展平后的直线距离），£＞C是上底而两点之间的直线距离，A、£＞、C也有可能三点共线.文14】清楚看到了这一点，也列出了相关函数式（以a=ZDOC为自变量）1-1807ir但由于“涉及到一些较复杂的函数”，故仅“采用儿何画板进行辅助探宂”，“无法代替”证明.以上，就是人们对圆柱表面最短路径的认识轨迹（