这道试题到底错在哪儿？.doc

《这道试题到底错在哪儿？.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、这道试题到底错在哪儿?在解题过程中，从局部看，每一步都是严谨、规范的，但从整体审视，其结论存在瑕疵，甚至错误，而且极其隐蔽.笔者在教学过程中就遇到这样一个棘手问题，现整理成文，与同行一起探讨.不当之处，敬请批评指正.1案例呈现评注案例1源自某地高三质检题.案例1以平面向量为载体，考查圆、椭圆及最值、范围等相关知识，同时凸显数形结合、转化与化归等思想，是一道集知识、能力、方法与思想于一体的综合性较强的试题.鉴于此，我校高三备课组决定将案例1作为周末作业题.2解答过程3遭遇质疑周一讲评时，学生陈汜玄提出质疑，认为上述

2、解答过程与结论都存在错误，这让笔者大吃一惊！仔细审视上述整个解答过程与结论，似乎每一步都是严谨、规范的.刚好下课，笔者带着满腹疑惑回到办公室，并将这一“突发事件”立即报告同行，请求大家一起研宄.4错在哪儿4.1熟知结论让我们先看以下熟悉的试题（以下简称案例2）:注意到案例2与案例3中的A，B,表面上看，点A，B是椭圆长轴两个端点，其本质则是点A，B关于原点（椭圆中心）对称，因此我们进一步推广得到（以下简称案例4）:评注上述案例2、案例3及案例4的证明较为简单，请读者自行推理.案例2、案例3及案例4充分说明这样一个

3、事实：一旦椭圆确定，则椭圆上任一点与椭圆上关于其屮心对称的两点连线的斜率（假设斜率存在）之积为定值.4.2重温教材对于教学中遇到的问题，尤其是棘手的疑难问题，最先自救的是重温教科书.俗话说得好，“解铃还须系铃人.”教科书是离我们最近、与我们最熟悉、跟我们最密切的规范性文本.相信大家一定记得人教版教科书（文［1］）第二章“圆锥曲线与方程”第二节“椭圆”中例3（第41页），原题如下（以下简称案例5）:评注文［1］主编特意将案例5与案例6屮的坐标设置相同，意在Ph显案例5与案例6是从特殊到一般、从椭圆到双曲线、焦点从x

4、轴到y轴，这既是作为本章总复习的综合考查，又是渗透数形结合、分类讨论等系列数学思想的绝佳时机.同时主编暗藏玄机：案例5求轨迹方程，而案例6则是求轨迹，也就是说，案例6不仅要求出方程（代数），更要指出其轨迹（图形）.4.3疑点浮现对照上述案例1与案例2、案例3及案例4，可以猜测命题专家当初就是依据上述案例2、案例3及案例4而命制上述案例1.应该说案例1回归教材，以教材为本，确实是一道难得的好题.审视案例5与案例6,不难发现上述解答就是仿照案例5、案例6的两点坐标而构建坐标系.按理说，上述解答过程中的建立平面直角坐标

5、系也是中规中矩，况且平时都是这样建立坐标系.上述案例1的解答步骤似乎规范、严谨，那问题到底出在哪儿呢？是上述解答错误？还是案例1本身有问题呢？4.3.1定值的本质到底是什么？上述案例2、案例3及案例4说明：只要椭圆确定，则椭圆上任一点与椭圆上关于中心对称的两点连线的斜率（假设斜率存在）之积为定值.那反过来，若斜率之积为定值，椭圆能唯一确定吗？这XT是问题关键所在，这正是学生质疑的地方.4.3.2学生质疑的依据是什么？为何案例5所得到的椭圆是唯一确定，而案例1中的椭圆不是唯一呢？请读者仔细对照上述案例1与案例5中细

6、微差异.对于案例5,主编己经确定点A,B的坐标，而案例1屮命题专家并没有确定点A,B的坐标，只是给出线段AB的长度而己.由于我们习惯性地“以线段AB所在直线为x轴，以线段AB中垂线为y轴”，并由此而得到点A，B的坐标，即“A（-2,0）,B（2,0）.”这样我们人为地将线段AB默认为椭圆的长轴（如图5所示）.殊不知，上述案例4有力地表明：线段AB不一定必须作为椭圆的长轴，其实只要将线段AB作为椭圆的任意一条中心弦（如图6所示）都可以满足斜率之积为定值.将线段AB默认为椭圆长轴（如图5所示）是最小的椭圆，将线段AB

7、默认为椭圆短轴（如图7所示）是最大的椭圆.当然，不论椭圆多人、多小，只要其斜率之积为确定定值，那么离心率e始终保持不变，这就是“相似椭圆”的由来，这正是学生产生质疑的原因所在，这也正是专家当初命制案例1时所没有考虑到的肓区！图5图6图7说到底，案例2与案例3的逆命题并不成立，换言之，kPA?kPB为定值，此时AB并非就是椭圆的长轴，可能为过椭圆中心任一条弦，更何况，由上述案例6可知其轨迹还不一定就是椭圆，可能为圆或双曲线.4.3.3“相似椭圆”如何变化？由上述分析不难得到，尽管斜率之积为定值，但并不能保证椭圆能够

8、唯一确定，而是得到系列“相似椭圆”.那满足条件的“相似椭圆”不断变化时，其

9、PQ

10、又是如何变化呢？其二、上述图8、图9到图10有力地说明前面解答屮“以线段AB所在直线为x轴，以线段AB中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(-2,0)，B(2,0)，”是不恰当的，因为这样构建直角坐标系，就等于默认了线段AB只能作为椭圆的长轴，从而只能得到其屮最特殊的一种情况，即最小的椭圆