期望-方差公式

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1、期望与方差的相关公式-、数学期望的来由早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？　　用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。　　这个故事里出现了“期望”这个

2、词，数学期望由此而来。定义1若离散型随机变量可能取值为（=1，2，3，…），其分布列为（=1，2，3，…），则当<时，则称存在数学期望，并且数学期望为E=，如果=，则数学期望不存在。定义2期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=xi的概率为P（ξ=xi）=Pi（i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑xipi为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.二、数学期望的性质（1）设C是常数，则E(C)=C。（2）若k是常数，则E(kX)=kE(X)。（3）。三、方差的定义10前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的

3、平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。定义3方差：称Dξ=∑（xi－Eξ）2pi为随机变量ξ的均方差，简称方差.叫标准差，反映了ξ的离散程度.定义4设随机变量X的数学期望存在，若存在，则称为随机变量X的方差，记作，即。方差的算术平方根称为随机变量X的标准差，记作，即由于与X具有相同的度量单位，故在实际问题中经常使用。Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，若X的取值相

4、对于其数学期望比较集中，则其方差较小；若X的取值相对于其数学期望比较分散，则方差较大。若方差=0，则随机变量X以概率1取常数值。由定义4知，方差是随机变量X的函数的数学期望，故当X离散时,X的概率函数为；当X连续时，X的密度函数为。求证方差的一个简单公式：公式1：证明一：10证明二：可以用此公式计算常见分布的方差四、方差的性质（1）设C是常数,则D(C)=0。（2）若C是常数,则。（3）若与独立，则公式2：。证由数学期望的性质及求方差的公式得可推广为：若,，…，相互独立，则（4）D(X)=0P(X=C)=1，这里C=E(X)。五、常见的期望和方差公式的推导过程（一）离散型随机变量

5、的期望和方差的计算公式与运算性质列举及证明101．由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：（1）pi≥0，i＝1，2，…；（2）p1＋p2＋…＝1。2．离散型随机变量期望和方差的性质：E(a＋b)＝aE＋b，D(a＋b)＝a2D。（1）公式3：E（aξ+b）=aEξ+b，证明：令为常数也为随机变量所以的分布列为　　　…　…　　　…　…==说明随机变量的线性函数的期望等于随机变量期望的线性函数（2）公式4：D（aξ+b）=a2Dξ（a、b为常数）.证法一：因为10所以有：证毕证法二：Dξ=.E(aξ＋b)＝aEξ＋b，D(aξ+b)=a2Dξ．（二）二项分布公

6、式列举及证明1．二项分布定义：若随机变量的分布列为：P(＝k)＝Cnkpkqn-k。（k＝0，1，2，…，n，0＜p＜1，q＝1－p，则称服从二项分布，记作~B(n，p)，其中n、p为参数，并记Cnkpkqn-k=b(k；n，p)。2．对二项分布来说，概率分布的两个性质成立。即：（1）P(＝k)＝Cnkpkqn-k＞0，k＝0，1，2，…，n；（2）P(＝k)＝Cnkpkqn-k＝(p＋q)n＝1。二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它有着广泛的应用。3．服从二项分布的随机变量的期望与方差公式：若ξ～B（n，p），则Eξ=np，Dξ=npq（q=1－p）.（1）公式5：求证

7、：Eξ=np方法一：在独立重复实验中，某结果发生的概率均为（不发生的概率为，有），那么在次实验中该结果发生的次数的概率分布为10服从二项分布的随机变量的期望.证明如下：预备公式因为所以==所以=得证方法二：证明：若，则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数，现在我们来求X的数学期望。若设i=1,2，…，n则，因为，所以，则可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np。需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。公式610求证：服从二项分布的随机变量的方差公式7：Dξ