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1、毕业设计（论文）文献综述综述课题：级数求和的方法总结与应用学生姓名：马侨专业：数学与应用数学指导教师：高永东2015年3月12日一、前言级数求和作为一个微积分中的基本和重要的问题，从开始研究到现在已经积累了很多丰富有效的方法以及许多重要的应用。一方面很多函数可以用级数来表示；另一方面，又能借助于无穷级数来研究函数逼近和近似计算等问题。在自然科学和工程技术中有许多问题也可以由级数来解决。在高等数学课程中，无穷级数求和问题是一个重点也是一个难点问题，但是，众多高等数学教材中关于求级数的和的方法讲得比较
2、简略．在教学过程中发现相当一部分学员往往对求数项级数的和这一问题感到束手无策、无从下手．笔者归纳一些求无穷级数的方法，并给出具有代表性的例子。无穷级数(简称级数)是高等数学的一个重要组成部分.它是表示函数,研究函数性质以及进行数值计算的一种重要工具.众所周知,收敛级数都有和,然而求出收敛级数的和常常是较困难的.因此,本文将讨论运用裂项相消,错位相减,逐项微分,逐项积分,运用特殊级数的和来求级数的和,并通过实例说明了这些方法的应用.二、主体一、裂项相消法设,,则的部分和为.若,则.也就是说的和为.我
3、们称上述求级数和的方法为裂项相消法.利用裂项相消法求级数的和,关键是怎样将级数的通项拆成前后有抵消部分的形式,通常经过变形,有理化分子或分母,三角函数恒等变形等处理可达到裂项相消的目的.以下用具体例子来进行说明.例1求无穷级数的和.解因为,所以,于是.所以.如果一个级数的通项是一个三角函数式,则可考虑利用三角函数公式,将其化简为两式之差以便运用裂项相消法.二、错位相减法设为等差数列,公差为,为等比数列,公比为,则称为混合级数,这类级数的求和问题一般采用错位相减法.事实上,设,(1)两边同时乘以公比
4、得,即,(2)(5)式减去(6)式得,.我们这种求级数和的方法为错位相减法.例2求级数的和.解因为,(3),(4)(7)式减去(8)得,即,于是,所以,故.三、逐项微分法定理若在上,的每一项都具有连续导数一致收敛于,又收敛于,则,即,且一致收敛于.这定理说明了和号同求导运算可以交换,它也称为逐项微分的定理.但要注意的是,仅仅在条件“一致收敛”之下,即使存在且连续,也不能保证和号同求导数号可以交换.例3求级数的和.解令,在收敛域内逐项微分,得.注意到,所以,于是当时,有四、逐项积分法定理2设在上一致
5、收敛于,并且每一都在上连续,则,亦即和号可以与积分号交换.又在上,函数项级数也一致收敛于.该定理也称为逐项积分定理.例4求级数的和.解令,其收敛域为,在收敛域内逐项积分,得其中,于是.例5求下列级数的和(1);(2).解(1)在上对作逐项积分,可知(2)对,令,有由此知.对,令,有,由此可得.五、运用特殊级数的和求和法这种方法的基本思想是:将待求和的级数用一些已知级数来表示,通过代入已知级数求得待求级数的和.以下运用例子来说明该方法.例6求.解原式可以用级数表示如下.考虑级数,其收敛半径为1,故当
6、时收敛,设其和函数为,下面在区间内求.由于,所以令,即得参考文献[1]刘玉琏.数学分析讲义(下册)[M],北京:高等教育出版社,2003.[2]陈传璋.数学分析讲义下册[J],北京:高等教育出版社，2004.[3]张春平.无穷级数的求和探讨[J],沈阳师范大学学报,(3)2008,20-21.[4]郑春雨.数项级数和的求法例谈[J],海南广播电视大学学报,(3)2006,96-97.[5]蔡炯辉.胡晓敏,收敛级数求和的初等方法[J],玉溪师范学院院报,(6)2006,95-98.[6]华东师范大学
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