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1、摘要：分析了若矩阵A经过行初等变换化为矩阵队则A与S的列向量组具有完企相同的线性关系，以及此性质在线性代数的主要应川。关键词：初等变换；线性相关；线性无关；线性表示线性代数主要研究的是线性问题。一般而言，凡是线性问题常可以用向呈空间的观点和方法加以讨论，因此向煊空间成了线性代数的基本概念和屮心闪容。向量空间理论的核心问题是向量间的线性关系。其基本概念有向量的线性表示、向量组线性相关与线性无关、向量组等价、向量组的极大无关组，以及向量空间的基与维数等。这些问题通常转化为解线性方程组或解齐次线性方程组。1线性相关性证明设A=(ahct2，…，％)，«^严,若矩阵A经过
2、行初等变换化为矩阵B,则A与B的列向量组具有完全相同的线性关系。证明：设/^„，经过行初等变换化为队将儿衫分别按列分块为/1=(山，012，...，0,B=(pbp2，…，pn)。由于对A只进行有限次行初等变换，故可知有满秩矩阵P,使，即P(aba2,…，an)=(pbp2,…，pn)，于是有iipj=Pai(j=l，2,3,…，n)(1)设A和B对应的列向量组为ai„ai2,'.和pip(V■•我(1彡由(1)式得Pik=Paik(k=l,2,3,…，r)因此，如来aipai2，…，ait.有线性关系式klail+k2ai2+…社说广0(kr为实数)，则khk2
3、…kr也必使得kipi+k2pi2+...+krpir=k1(Pc(i
4、)+k2(Axi2)+…+kr(Pair)=P(ki(Xit+k2a“+--•+krair)=FO=O反之，如果ph，pi2，…，pif.有线性关系式，得^iPi,+A，2pi2+--则由尸的满秩性可知…，n),于是有入
5、%+人2%+•••+Xrai=XiP'1Pi]+X2/zlPi2+■■•+ZTP"1Pir=p-,(x1pil+^2pl2+---+xrpir)=p-'o=o这表明向量组ai,,aj2,…，(与向量组Ph，Pi2，…，0~有相同的线性相关性，证毕。2线性相关性在线性代数中的
6、应用2.1向量组的线性相关性与行列式的关系^.1汉21汉12汉22^13^23^14汉24若向量组ai，(x2,…,ctn的个数等于于向量的维数，即m=n时，则m2=(aha2,…，an)是一个方阵，方阵有行列式。(1)⑷处，…，an线性相关《
7、A
8、=0(2)ai，a2,…，an线性无关》
9、/l
10、关0例1判断下列向量组的相关性，a!=(l001),a2=(O10-1),a3=(001-1),a4=(2-130).解
11、A
12、=1001010-1001-12—1“=0,所以a!，a2,a3，a4线性相关。302.2向量组的极大无关组和秩设有向量组叫处，…，as,如果在＞
13、4中存在r个向量A):ajpaj2，…，ajp满足1)向呈组A线性无关；2)向量组＞1中任一向量可用A)线性表示，则称向量组是向镒组//的一个极大线性无关组(简称极大无关组).极大无关组所含昀量的个数r称为向量组J的秩。例2设矩阵•2-1-112_11-214A=4-62一24’_36一979_求矩阵/I的列向量组ai,a2,a3，a4,a5的一个极大无关组，并把不是极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。解对A施行初等行变换，使之变成行阶梯形矩阵~2-1-112"■0-33-1-6"_11-214"11-21411-2140002—64—62-240一44一40
14、01-110_36-979_0■3-34-3__0003-9-11-21401-1100001—300000显然7?C4)=3,故列向量组的极大无关组含3个列向量。而三个非零行的非零首元在1、2、4三列上，故ai,a2,ot4为列向量组的一个极大无关组.这是因为：11110100知/?(0ti，a2,a4)=3,故ai,a2,cu线性无关。1行变换0(apa2，a4)□Q0为把ot3,a5用山，％,%线性表示，把A再变成最简形矩阵10-10401-103即得a3=—ai—a2,a5=4ai+3a2—3a4AQ0001-3000002.3牛.成子空间的基和维数1.设
15、有向量空间K及h若向量空间16cK，就说K/是匕的子空间。2.设K是向量空间,如果r个向量ai，a2,…，K且满足(1)ai，a2,…，ar线性无关；(2)V中任一向量都可由ai，a2,…，ar线性表示那么，向量组ai，ot2，…，(^就称为向量V的一个基，r称为向量空间V的维数，并称V为/•维14量空间。说明：(1)只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基.(2)若把向量空间r看作向量组，那么K的基就是向量组的最大无关组，K的维数就是向量组的秩.(1)若向量组叫，0(2,…，a:.是14量空间K的一个基，则K可表示为V={x=/^6z,+2^/2+•
16、••+Ar
