线性方程组的数值解法实验报告

《线性方程组的数值解法实验报告》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、实验报告一一线性方程组的数值解法姓名：班级：学号:日期:一实践目的1.熟悉求解线性方程组的有关理论和方法。2.会编列主元消去法，全主元消去法，雅克比迭代法及高斯-赛德尔迭代法的程序。3.通过实际计算，进一步了解各种方法的优缺点，选择合适的数值方法。4.进一步应用数学知识，扩展数学思维，提高编程能力。二问题定义及题目分析1.求解线性方程是实际中常遇到的问题。而一般求解方法有两种，一个是直接求解法，一个是迭代法。2.直接法是就是通过有限步四则运算求的方程准确解的方法。但实际计算中必然存在舍入误差，因此这种方法只能得到近似解。3.迭代法是先给一个解的初始近似值，然后按一定的法则求出更准确的解，即

2、是用某种极限过程逐步逼近准确解的方法。4.这次实践，将采用直接法：列主元高斯消去法，全主元高斯消去法；迭代法：雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法。三详细设计设有线性方程组ciux^anx2+-^a,nxtl=b,攀攀••••參參攀攀•雜“2W2+."+6^X,,=/72令A=乂“21參參•a2^22參攀參…V…a2n參x=x2•參•b=—b'b2••參an2…ann一.上三角方程组的求解很简单。所以若能将方程组化为上三角方程组，那就很容易得到方程的解，高斯消去法则是一种简洁高效的方法，可以将方程组化为上三角方程组，但是这种方法必须满足每一步时％=0才能求解，还有当％绝对值很小时，作分母会引

3、起较大的舍入误差。因此在消元过程中应尽量选择绝对值较大的系数作为主元素。1.列主元消去法很好的解决这一问题。将%,的系数％中绝对值最大者作为主元素，交换第一行和此元素所在的行，然后主元消去非主元项4的系数，。一般的，在A的一些相关系数之前，綠ak'k，ak+'，k...aH，k中选出绝对值最大者作为主元素，交换第k行和次主元素所在的行，再消去&的一些相关系数，只要方程组A非奇异，则每个主元定不为0,故消元过程一定能将方程组化为上三角方程组。将方程用增广矩阵=表示。（1）消元过程对女=0,1，2，.../1-1;1.选主兀，找卜｛/:，女+1，…"｝，使得

4、6^

5、=max

6、6^

7、（Z:2.〜

8、=0,则矩阵A奇异，程序结束，否则执行下一步。3.如果则交换第A行与第行对应的元素位置，即akjeaikjU=l<:，k+，…，n+Vf"l.消兀，对Z=Z：+1，/：+2,…，A2计算Z,A=〜/6^对y=众+1，众+2,…，n+1计算〜=ay-likakj(2)回代过程屮…，对，•=m_1，…，2,1计算nxi=(%，。+「X,a“y=z+i2.全主元消去法（对列主元消去法的改进）首先，从方程组系数&中选出绝对值最大者作为主元，然后通过行交换及列交换，是主元素移到第一行第一列，然后消去第一列的非主元项的系数。一般的，在第k次消元之前，先从n-k+1行和n-k+1列中选取绝对值最大者作

9、为主元素，交换第k行和此主元素所在之行，再交换第k列和此主元素所在之列。然后消元，消去第k列的一些系数，但每一步都必须跟踪记录…之问顺序的变化。for(l=i;lfabs(A[kl][k2]))kl=l,k2=j;if(kl!=i)如果kl不等于i,则第i行与第kl行互换for(j=0;j<=n;j++){P=A[i][j];A[i][j]=A[kl][j];A[kl][j]=P；初始化Y[n]if成立则第i列与第k2列互换}for(i=0;i

10、

11、^max,则并不收敛，程序结束，否则执行第2步。2.高斯-赛德尔迭代法（对雅克比迭代法的改进）这种迭代法在于充分利用每一小步所求出的新分量。因此在新分量for循环进行迭代并记录每次迭代的误差如果i等于j则不执行下一步一旦求出之时，马上、就用新分量代替。即在雅克比迭代法法中求吋用Of…;分别代替彳，^…心。使得程序效率更高。for(i=0;i