线性规划常见题型及解法均值不等式专题

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1、线性规划常见题型及解法一.基础知识：（一）二元一次不等式表示的区域二元一次不等式/U+办+c〉o表示直线某一侧的所有点组成的区域，把直线画成虚线表示不包括边界，办+C20所表示的区域应包括边界，故边界要画成实线.巾于在直线^+办+€?=（）同一侧的所有点（x，y），把它的坐标（x，y）代入Ax+办+C，所得的符号相同，所以只需在此直线的某一•侧取一个特殊点（&%），从柘+权+C的正负即可判断+表示直线哪一侧的平面区域。通常代特殊点（0,0）。（二）线性规划（1）不等式组是一组对变量/的约束条件，由于这组约束条件都是关于*、/的一次不等式，所以又可称其为线性约朿条件.z=A;r+B/是欲

2、达到最大值或最小值所涉及的变量y的解析式，我们把它称为目标函数.由于^Az+Br乂是关于x、/的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.（2）—般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.（3）那么，满足线性约束条件的解（z,/）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（+4）和（~＞，2）分别使冃标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们

3、是否在可行（4）用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约來条件画出讨行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.1.设^=0，画出直线人.2.观察、分析，平移直线Z），从而找到最优解.3.最后求得目标函数的最大值及最小值.（5）利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出叫行域，在吋行域内求得使目标函数取得最值的解.最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进

4、而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下常见题型。一、求线性目标函数的取位范围x<2例1、若x、y满足约束条件,则z=x+2y的取值范围是（）x+y>2A、[2,6]B、[2,5]Cx[3,6]D、（3,5]二、求可行域的面积2x+y-6>0例2、不等式组jx+y—3幺0表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大三、求可行域中整点个数例3、满足

5、x

6、+

7、y

8、彡2的点（x,y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个pq、求线性n标函数屮参数的取值范围x+y>5例4、已知x、y满足以下约束条件

9、使z=x+ay（a>0）取得最小值的最优解有无数%<3个，则a的值为（）A、一3B、3C、一1D、1五、求非线性目标函数的最值2x+y-2>0例5、已知x、满足以下约束条件，^-2y+4>0，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是3x-y-3<0()A、13,1B、13,2C>13,-D、52^5~~5~六、求约朿条件中参数的取值范W例6、已知

10、2x—y+m

11、<3表示的平面区域包含点（0,0）和（一1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）七、线性规划的实际应用在科学研究、丁.程设计、经济管理等方血，我们都会碰到最优化决策的实际M题，而解

12、决这类M题的理论基础足线性规划。利川线性规划研究的问题，人致可归纳为两种类型：第一种类型是给定一定数欺的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最人，的效益最人，第二种类型是给定一项任务，⑹怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源虽敁小。例1、某木器厂生产圆桌和衣枳W种产品，现宥两种木料，第一种宥72〃/,第二种侖56W,假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣枳分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元，生产一个衣枳可获利10元.木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜各生产多少,冰使获得利润最多？产品木料（单位W）第一种第二种圆朵0.180.08

13、衣柜0.090.28allxi+a}2x2+-^ahnxm